A Comparative Analysis of Option Pricing Models Under Jump Dynamics, Skewness, and Non-Normal Kurtosis

Document Type : Research Paper

Authors

1 M.A, Zagros Financial Research Group, Faculty of Basic Sciences, Ayatollah Boroujerdi University, Boroujerd, Iran

2 Associate Professor, Zagros Financial Research Group, Faculty of Basic Sciences, Ayatollah Boroujerdi University, Boroujerd, Iran

Abstract

The Black-Scholes model assumes log-normal stock returns with constant volatility, yet empirical evidence reveals significant deviations, including skewness and excess kurtosis in financial markets. To better capture these characteristics, extended models incorporating jump processes and non-normal distributions have been developed. This study evaluates the pricing accuracy of four option pricing models—the Black-Scholes model, the Merton jump-diffusion model, the Kou double-exponential jump model, and the Gram-Charlier expansion model—with a focus on their performance under varying degrees of skewness and kurtosis. Our findings indicate that the Gram-Charlier model outperforms the Merton and Kou models in scenarios with negative skewness and leptokurtic distributions. Conversely, the Kou model demonstrates superior accuracy under conditions of low skewness and kurtosis. These results highlight the importance of selecting appropriate pricing models based on the underlying return distribution characteristics.
Keywords: Options, Merton's Diffusion Jump Model, Gram-Charlier Model, Skewness, Kurtosis
JEL Classification: G11, G12
 
Introduction.
The Black-Scholes model assumes that stock returns follow a normal distribution with constant volatility. However, empirical evidence in financial markets shows that stock returns exhibit significant non-normal skewness and kurtosis. To better capture these characteristics of asset return series, several models have been developed to generalize the Black-Scholes framework for more accurate option pricing. The Merton jump-diffusion model and the Kou model extend the Black-Scholes approach by incorporating a compound Poisson jump process, which allows these models to account for skewness and kurtosis in asset price distributions. An alternative methodology, the Gram-Charlier expansion, addresses skewness and kurtosis effects through a different approach - it uses Hermite polynomials to approximate the probability distribution of asset prices. This study systematically examines and compares the pricing accuracy of four key models: the standard Black-Scholes model, the Merton jump-diffusion model, the Kou model, and the Gram-Charlier expansion. Our analysis specifically focuses on how these models perform under varying conditions of skewness and excess kurtosis, providing insights into their relative strengths and limitations.
 
Materials & Methods
This study analyzes historical closing prices for three major Iranian financial instruments: (1) Iran Khodro Company (ticker: Khodro) from May 16, 2020 to August 28, 2024; (2) Social Security Investment Company (ticker: Shasta) from March 2, 2022 to August 28, 2024; and (3) Charisma Equity Fund (ticker: Aharm) from December 20, 2021 to August 28, 2024. Volatility estimates for all three securities were computed using historical volatility methods based on the price series. We then calculated European call option prices using four distinct pricing models: the standard Black-Scholes model, Gram-Charlier expansion, Merton jump-diffusion model, and Kou double-exponential jump model. Finally, we conducted a comparative analysis between the model-derived prices and actual market prices to evaluate model performance.
 
Findings
This study incorporates the effects of skewness and excess kurtosis into various option pricing models. Our comparative analysis reveals that the Gram-Charlier model demonstrates superior pricing accuracy, exhibiting lower errors compared to both the Merton jump-diffusion model and Kou model under conditions of negative skewness and leptokurtic distributions. Conversely, the Kou model outperforms alternative approaches in markets characterized by low skewness and kurtosis. These findings make two significant contributions to the option pricing literature. First, they provide empirical evidence for model selection criteria based on distributional characteristics of underlying assets. Second, they demonstrate that optimal model choice depends critically on specific market conditions. Our results suggest that practitioners should carefully consider the statistical properties of asset returns when selecting pricing models, rather than relying on a single universal approach.
 
Discussion and Conclusion
The results of this study indicate that for the Shasta symbol, option prices calculated using the Gram-Charlier model significantly outperform those derived from the Kou and Merton models. This superior performance stems from the presence of negative skewness and excessive kurtosis in the data. We conclude that the Gram-Charlier model produces better results than the Merton and Kou jump models when applied to datasets exhibiting negative skewness and high kurtosis. For the Khodro symbol, the Merton model demonstrates greater pricing accuracy compared to both the Gram-Charlier and Kou models, a result attributable to the high kurtosis present in this dataset. Regarding the Leverage symbol, the Kou model provides more accurate option pricing than the Gram-Charlier model, owing to the relatively normal skewness and kurtosis characteristics of the data. These findings lead to two key inferences: First, the Kou model proves particularly suitable for datasets displaying normal characteristics or for cases where normality has been rejected by statistical tests but without significant abnormal skewness and kurtosis. Second, the Merton model serves as an appropriate option pricing model for non-normal datasets characterized primarily by high kurtosis without accompanying skewness.

Keywords

Main Subjects

Full Text

تجزیه‌وتحلیل دقیق بازار سرمایه به دلیل نقش مهم و اساسی که در توسعه و پیشرفت اقتصادی هر کشوری دارد، از جنبه‌های مختلف ضروری به نظر می‌رسد. به‌منظور کاهش ریسک زیاد سرمایه‌گذاری در این بازار، سرمایه‎‌گذاران با استفاده از اوراق مشتقه ریسک سرمایه‌گذاری را کاهش می‌دهند. اوراق مشتقه به چهار نوع قرارداد اختیار معامله، قرارداد آتی، قرارداد سلف و قرارداد معاوضه تقسیم می‌شوند (Hull, 1993). در میان اوراق مشتقه، قراردادهای اختیار معامله توجه سرمایه‌گذاران را به خود جلب کرده است. باتوجه‌به اینکه اوراق اختیار، هزینۀ کمتری در مقایسه با خود سهم دارد، به‌عنوان ابزاری قدرتمند در معاملات به کار گرفته می‌شود و تا حد بسیار زیادی باعث کاهش ریسک می‌شود و درنتیجه درآمد را افزایش می‌دهد (Hajizadeh & Mahootchi, 2019). نکتۀ کلیدی دربارۀ اختیار معامله، موضوع قیمت‌گذاری آن است که یکی از ارکان اصلی در تصمیم‌گیری‌های سرمایه‌گذاری به شمار می‌آید. اتخاذ تصمیمات درست سرمایه‌گذاری و تخصیص بهینۀ منابع، مستلزم ارزیابی اوراق با استفاده از روش‌های معتبر علمی است (Darabi & Marufkhani, 2016). مدل بلک شولز به‌عنوان مدلی کلاسیک برای قیمت‌گذاری اختیار معامله شناخته می‌شود؛ اما فروض آن مانند توزیع نرمال بازده و نوسان ثابت در بسیاری از موارد با واقعیت‌های بازار همخوانی ندارد، به‌ویژه در شرایط بازارهای ناپایدار و پرنوسان، بازده‌ها ممکن است توزیع‌های غیرنرمالی داشته باشند؛ بنابراین، انجام پژوهش بر روی قیمت‌گذاری اختیار معامله تحت توزیع غیرنرمال می‌تواند به افزایش دقت قیمت‎‌گذاری اختیارها کمک کند.

این پژوهش از نوع کاربردی است و نوآوری اصلی آن مقایسۀ بین مدل‌های پیشرفتۀ قیمت‌گذاری اختیار معامله شامل مدل‌های پرش انتشار مرتون (Merton, 1976)، کو (Kou, 2002) و گرام-چارلیه[1] (Chateau & Dufresne, 2017) با استفاده از داده‌های واقعی بازار اختیار معامله در ایران است. این مطالعه برای اولین بار در ایران، کارایی و دقت این مدل‌ها را در شرایط واقعی بازار سرمایۀ ایران بررسی می‌کند که شامل نوسانات بالا و ساختار نامتعارف بازار است.

علاوه‌براین، پژوهش حاضر با در نظر گرفتن اثر چولگی و کشیدگی در توزیع بازدهی دارایی‌ها و پدیدۀ پرش‌ در قیمت‌ها توانایی این مدل‌ها را در انعکاس واقعیت‌های بازار ایران ارزیابی می‌کند. این مقایسه نه‌تنها به درک بهتر از سازگاری مدل‌های جهانی با بازارهای نوظهور کمک می‌کند، بلکه می‌تواند به بهبود ابزارهای مدیریت ریسک و قیمت‌گذاری اختیار معامله در بازارهای مالی ایران منجر شود.

بنابراین، سؤال اصلی پژوهش این است که کدام یک از مدل‌های پرش انتشار مرتون، کو و گرام_چارلیه دقت بیشتری در قیمت‌گذاری اختیار معامله در بازار ایران دارند.

در ادامه ابتدا مبانی نظری و پیشینۀ پژوهش مرتبط با قمیت‎‌گذاری اختیار معامله بررسی شـده اسـت. در بخش بعدی روش پژوهش، مدل و متغیرهای مطالعه معرفی شده است و سپس تجزیه‌وتحلیل داده‌ها و برآورد مدل‌ها بیان و درنهایت دربارة نتایج پژوهش بحث و نتیجه‎‌گیری ارائه شده است.

 مبانی نظری

مشهورترین مدل برای ارزش‌گذاری اختیار معامله‌های اروپایی، مدل بلک شولز نام دارد (Hull, 1993). این مدل توانست بازار قیمت‌گذاری مشتقات را با استفاده از دارایی پایه متحول کند. قیمت دارایی پایه در مدل بلک شولز از معادلۀ دیفرانسیل تصادفی (۱) پیروی می‌کند (Hull, 1993).

در این معادله  قیمت سهم، r نرخ بهرۀ بدون ریسک،  نوسان و  فرایند براونی استاندارد در اندازه ریسک خنثی  Qاست(Hull, 1993). بازدهی مرکب پیوسته روزانۀ دارایی پایه ازطریق تفاضل‌گیری لگاریتم قیمت در دو دورۀ متوالی محاسبه می‎‌شود که در فرمول (2) ارائه شده است.

به‌‌طوری‌که  بیانگر بازدهی سهام در زمان    و  و  بیانگر قیمت‌ سهام در زمان  و  است. باتوجه‌به معادلۀ (1) می‌توان گفت که  تنها پارامتر غیرقابل مشاهده در این مدل است که می‌توان آن را با استفاده از سوابق تاریخیِ تغییرات قیمت دارایی پایه به‌صورت (3) برآورد کرد.

به دلیل عدم قطعیت نوسانات ضمنی از نوسان تاریخی برای محاسبۀ قیمت اختیار استفاده می‎‌شود. تمرکز بر نوسانات تاریخی به ارائۀ تحلیل‌های معتبرتر نیز کمک می‌کند (Hull, 1993). فرض اساسی در مدل بلک شولز پیروی لگاریتم بازدۀ سهام از توزیع نرمال با تلاطم ثابت است؛ اما بعد از سقوط بازار سهام در 19 اکتبر سال 1987 قیمت‎‌های اختیار معامله در بازار با قیمت‎‌های حاصل از مدل بلک شولز از تفاوت معنی‌داری برخوردار بود. مطالعات تجربی چولگی و کشیدگی غیرنرمال، بازدۀ سهام را نشان می‌دهد یعنی بازدۀ دارایی‌ها دم پهن‌تر و دارای کشیدگی بیشتری در مقایسه با توزیع نرمال است. در این حوزه می‎‌توان به‌عنوان نمونه به کارهای فاما (Fama, 1965)، رابین‌اشتین (Rubinstein, 1994)، ناندی (Nandi, 1996) و ماندلبرت (Mandelbrot, 1997) اشاره کرد. چولگی و کشیدگی غیرنرمال، منجر به پدیدۀ لبخند تلاطم می‌شود که همین موضوع باعث کاهش دقت در محاسبۀ قیمت اختیار می‌شود. درواقع انحرافات نوسان نتیجۀ نقض تجربی فرض نرمال‌بودن است (Shakran, 2012). پدیدۀ دنبالۀ سنگین یا دنبالۀ چاق از توزیع داده‌ها به شکل توزیع احتمال اشاره دارد که ماهیت داده‌هایی را توصیف می‌کند که در انتهای توزیع، شکل ضخیم‌تری از توزیع نرمال دارند. این پدیدۀ دنبالۀ سنگین معمولاً با وقوع فراوانی زیاد در قسمت دم توزیع داده‌ها همراه است. این موضوع به‌عنوان انگیزه‌ای برای پژوهشگران برای توسعۀ مدل غیرگاوسی عمل کرده است (Fallahpour & Motaharinia, 2017).چندین نظریه برای حل این مشکل ارائه‌ شده است. جاررو و راد (Jarrow & Rudd, 1982) از انحراف از لحظۀ گاوسی به‌عنوان رویکرد توزیع ناشناخته استفاده می‌کنند. مدل کورنیش-فیشر از توسعۀ کمیت α براساس تبدیل متغیر تصادفی گاوسی استاندارد به متغیر تصادفی گاوسی غیراستاندارد استفاده می‌کند؛ درحالی‌که کورادو و سو (Corrado & Su, 1996) بازدۀ قیمت سهام را با گسترش گرام‌چارلیه برای ارزیابی اختیار‌ها مدل‌سازی کرده است. مدل‌های مرتون مقالات اصلی در زمینۀ ارزیابی اوراق قرضه هستند. این نظریه به‌سرعت توسعه‌یافته و شامل وجود مدل پرش مرتون می‌شود. مدل پرش انتشار مرتون یکی از توسعه‌های مدل بلک شولز است که چولگی و کشیدگی بیش‌ازحد چگالی دارایی پایه را نشان می‎‌دهد. این مدل با اضافه‌کردن یک فرایند پواسون مرکب به مدل بلک شولز این ویژگی‌ها را در نظر می‌گیرد. درواقع مرتون از فرایند لوی با افزودن فرایند پواسون مرکب (فرایند پرش ناپیوسته) به حرکت براونی با رانش استفاده می‌کند (Merton, 1976).

مدل پرش انتشار مضاعف نمایی برای اولین بار توسط کو معرفی شد (Kou, 2002). مدل کو تعمیم‌یافتۀ مدل بلک شولز است؛ چون در این مدل توزیع پرش‌ها از توزیع مضاعف نمایی تبعیت می‎‌کند؛ بنابراین، کشیدگی و دم‌پهنی توزیع بازدۀ دارایی‌ها را به‌خوبی نشان می‌دهد.

یکی از مقالاتی که دربارۀ نظریۀ پرش انتشار مرتون بحث کامل می‌کند، مقالۀ ماتسودا (Matsuda, 2004) با رویکرد فرایند لِوی است. استفاده از مدل‌های پرش انتشار به دلیل وجود پرش در سری بازدۀ دارایی‌های مالی اهمیت دارد. پژوهش‌های زیادی برای بررسی پرش در سری بازدۀ دارایی‌های مالی انجام‌ شده است که می‌توان به سپ و اسوپ  (Sepp & Skachkov, 2003) و لوریگ و لوزانو (Lorig & Lozano, 2012) اشاره کرد. پرش در بازدۀ دارایی‎‌های مالی باعث به وجود آمدن چولگی و کشیدگی اضافی در مقایسه با توزیع نرمال می‌شود و دم توزیع از توزیع نرمال پهن‎‌تر است که فرض نرمال‌بودن بازدۀ دارایی‌های مالی را نقض می‎‌کند. فرایندهای لوی همچون مدل‎‌های پرش انتشار، ویژگی دم‌پهن بودن بازدۀ دارایی‎‌ها را به‌خوبی در نظر می‌گیرد. مدل مرتون (Merton, 1976) و کو (Kou, 2002) ازجمله مدل‌های پرش انتشار هستند که در آنها توزیع پرش‌ها به ترتیب نرمال و نمایی مضاعف در نظر گرفته ‌شده است؛ علاوه‌براین، از بسط گرام‌چارلیه به‌عنوان تعمیم توزیع نرمال برای غلبه بر مشکل غیرنرمال بودن داده‎‌ها به‌طور گسترده‌ای استفاده می‌شود (Jondeau & Rockinger, 2001). یکی از روش‌های تقریب استفاده‌شده، چندجمله‌ای‌های هرمیت است (Ord & Stuart, 1994). نایت و ساتچل (Knight & Satchell, 1997) نظریۀ گرام‌چارلیه (Corrado & Su, 1996) را برای اندازه‌گیری قیمت اختیار‌ها به کار گرفته‌اند. برابران سانتوس (Berberan-Santos, 2007) مدل گرام‌چارلیه (Corrado & Su, 1996) را با چندجمله‌ای‌های هرمیت برای هر توزیع توسعه داده و آن را در ارزیابی قیمت اختیار‌ها به ‌کار برده است. شاتو و دوفریسن (Chateau & Dufresne, 2017) از چندجمله‌ای‌های هرمیت برای گسترش گرام‌چارلیه در ارزیابی قیمت اختیار‌ها با دارایی‌های پایۀ توزیع نرمال استفاده کرده‌اند. سوپندی و همکاران (Supandi et al., 2017) مدل‌های غیرنرمال را برای بهینه‌سازی سبد سهام بررسی کرده‌اند. در ادامه مردانی و سافیتری (Maruddani & Safitri, 2019) تحلیلی از اثر قیمت‌ دارایی‌ها بر ارزیابی اوراق قرضه بدون کوپن با فرایندهای پرش ارائه داده‌اند. مردانی (2019) نیز با مقایسۀ مدل مرتون (1976) و مدل گرام‌چارلیه (Corrado & Su, 1996)، اثر چولگی و کشیدگی در عملکرد اوراق قرضه را بررسی کرد. نتایج نشان داد که مدل گرام‌چارلیه سازگارتر از مدل مرتون است؛ درنهایت عبدالرخمان (Abdurakhman, 2019) اثر گشتاور پنجم را بر قیمت اختیار در مدل بلک شولز بررسی کرد. زویا و همکاران (Zoia et al., 2000) به مدل‌سازی سری‌های مالی چندمتغیره و اندازه‌گیری ریسک محاسباتی ازطریق بسط‌ چارلیه پرداختند. مدل گرام‌چارلیه (Corrado & Su, 1996) با بهره‌گیری از گسترش‌ها برای کشیدگی‌ها، برخلاف مدل مرتون، در مدل‌سازی سری‌های مالی چندمتغیره و محاسبۀ اندازه‌گیری‌های ریسک مؤثر است. اوتاما و همکاران (Utama et al., 2022) در مقاله‌ای مدل قیمت‌گذاری اختیار فروش اروپایی با بسط گرام‌چارلیه را تا گشتاور سوم بررسی کردند. این مقاله مدل گرام‌چارلیه (Corrado & Su, 1996) را با مدل بلک شولز (1973) مقایسه می‌کند و نشان می‌دهد که مدل گرام‌چارلیه در مدل‌سازی قیمت سهام از مدل سنتی بلک شولز پیشی می‌گیرد. مدل‌های پرش انتشار به‌طور گسترده در زمینه‌های مالی، مانند مدل‌سازی نرخ ارز استفاده می‌شوند. این مدل‌ها جهش‌های ناگهانی نرخ ارز را به‌حساب می‌آورند که بیشتر در دوره‌های پرنوسان مشاهده می‌شوند. پژوهشگران راه‌حل‌های تحلیلی را با استفاده از معادلات دیفرانسیل تابعی برای پرداختن به پیچیدگی‌های معرفی‌شده توسط پرش‌ها توسعه داده‌اند (Cupidon & Hyppolite, 2022). در پژوهش‎‌های جدید نیز مدل‌های پرش انتشار با نوسانات تصادفی، عملکرد بهبودیافته‌ای را در قیمت‌گذاری اختیارهای با مانع در مقایسه با مدل‌های سنتی نشان داده است (Nthiwa et al., 2023)؛ درنهایت مدل پرش انتشار کو (2002) با موفقیت در اختیارهای آمریکایی برای دو دارایی نیز اعمال ‌شده است و با آزمایش عددی رفتار همگرایی مطلوبی را برای قیمت اختیار نشان می‌دهد (Hout, 2024).

اولین پژوهش‎‌ داخلی مربوط به اختیارها توسط پورحیدی (Pourhaidari, 1999) صورت گرفت که سه مدل قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ اوراق بهادار، شامل مدل توزیع یکنواخت، مدل توزیع دوجمله‌ای و مدل بلک شولز را بررسی کرد. پورحیدی نتیجه می‎‌گیرد که مدل بلک شولز برای قیمت‎‌گذاری اختیار معامله بهتر از دو مدل دیگر است. در ادامه کیمیاگری و آفریده ثانی (Kimyagari & Afridehthani, 2008) قیمت‌گذاری اختیار معامله را تحت مدل بلک شولز و درخت دوتایی بررسی کرده‌اند. آنها نشان می‌دهند که مدل بلک شولز مدلی مناسب برای قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ سهم‌های با نوسان پایین و مدل درخت دوتایی مدلی مناسب برای قیمت‌گذاری سهم‌ها با نوسان بالا است. باغستانی و همکاران (Baghestani et al., 2018) قیمت قرارداد اختیار معاملۀ آسیایی را تعیین کردند و ابوالی و همکاران (Abvali et al., 2019) روش جدیدی برای اثبات و بهبود معادلۀ بلک شولز ارائه دادند. بهرادمهر و طهماسبی (2022) نیز قیمت‌گذاری اختیار سکۀ طلا در بازار بورس کالای ایران را مطالعه کردند. احمدی و اسماعیلی (Ahmadi & Esmaili, 2024) ‫اختیار معاملۀ رنگین‌کمانی آسیایی هندسی شامل دو دارایی پایه براساس حرکت براونی کسری در بازار بورس و اوراق بهادار ایران را بررسی کردند. نصرالهی و همکاران (2023 .,Nasrollahi et al) نیز مدل بلک شولز تعمیم‌یافته در نوسانات گارچ با محاسبۀ ارزش در معرض خطر شرطی را در قیمت‌گذاری اختیارها به کار گرفتند. درخصوص مدل‎‌های پرش انتشار، نبوی و بهرام‌زاده (Nabavi & Bahramzade, 2018) کارایی فرایند لوی را در قیمت‌گذاری اختیار معاملات و محمدی‎‌نژاد و نیسی (Mohammadinejad & Nisi, 2022) نیز کارایی این مدل‎‌ها را برای قیمت‌گذاری اختیار بررسی کردند. پیمانی و همکاران (Peymani et al., 2023) مدل‌های ارزش‌گذاری اوراق اختیار معامله با نرخ سود تصادفی بررسی کردند و عملکرد هریک از آنها را با مدل قیمت‌گذاری اختیار معامله در نرخ سود غیرتصادفی با مدل بلک شولز و مرتون مقایسه کردند و نتیجه می‌گیرند که در ارزش‌گذاری اختیار معامله‌های کوتاه‌مدت، تفاوت چندانی میان مدل‌های ارزش‌گذاری اختیار معامله در نرخ سود تصادفی و مدل بلک، شولز و مرتون وجود ندارد؛ درحالی‌که ارزش‌گذاری اختیار معامله‌های بلندمدت با استفاده از مدل‌های ارزش‌گذاری اختیار معامله در سود تصادفی عملکرد بهتری از مدل بلک شولز و مرتون داشته‌اند. حدادی و نصرالهی (Haddadi & Nasrollahi, 2024) به اثر چولگی و کشیدگی بر قیمت‎‌گذاری اختیار معامله در توزیع غیرنرمال پرداختند و نشان دادند که مدل گرام‌چارلیه از مدل بلک شولز عملکرد بهتری در قیمت‌گذاری دارد؛ درنهایت فرزانگان (Farzanegan, 2024) چولگی و کشیدگی توزیع بازدۀ شاخص قیمت بورس اوراق بهادار تهران را  در پیش‌بینی ریسک با مدل GARCH به کمک بسط‌های گرام‌چارلیه بررسی کرد. در این پژوهش کاربردی برای ترکیب چولگی و کشیدگی غیرنرمال در فرمول قیمت‎‌گذاری اختیار معامله بلک شولز مدل بسط گرام‌چارلیه[2] با مدل پرش انتشار مرتون و مدل پرش انتشار کو در داده‎‌های واقعی با قیمت بازار مقایسه می‎‌شود.

روش‌پژوهش

فرمول‎‌های بلک شولز برای قیمت‌های اختیار معامله از نوع اروپایی عبارت است از (Hull, 1993):

(4)

 

(5)

 

 

 

که  نشان‌دهندۀ تابع احتمال تجمعی نرمال،  نشان‌دهندۀ قیمت جاری سهام،  نشان‌دهندۀ قیمت اعمال،  نشان‌دهندۀ تاریخ انقضا،  نشان‌دهندۀ نرخ بهرۀ بدون ریسک،  نشان‌دهندۀ نوسان‌پذیری بازدۀ سهم است.

برای در نظر گرفتن تأثیر چولگی و کشیدگی در قیمت دارایی برای ارزیابی اوراق بهادار، بسط گرام چارلیه رویکرد مناسبی است که از چندجمله‌ای هرمیت[3] برای دستیابی به توزیع احتمال استفاده می‌شود (Abdurakhman, 2019). کورادو و سو در مقالۀ خود توضیح دادند که فرمول کلی برای مدل بلک شولز ‌تعمیم‌پذیر است و این تعمیم به‌صورت رابطۀ (6) بیان می‌شود.

(6)

 

 

که تابع  نشان‌دهندۀ چگالی نرمال،  نشان‌دهندۀ قیمت جاری سهام،  نشان‌دهندۀ قیمت سهام در سررسید،  نشان‌دهندۀ قیمت اعمال،  نشان‌دهندۀ تاریخ انقضا،  نشان‌دهندۀ نرخ بهرۀ بدون ریسک،  نشان‌دهندۀ نوسان‌پذیری بازدۀ سهم و  تابع قیمت است.

لاپلاس (Laplace, 1811) چندجمله‌ای هرمیت را تعریف کرد و چبیشف (Chebyshev, 1859) آن رامطالعه کرد که شکل این چندجمله‌ای به‌صورت (7) بیان می‌شود.

(7)

 

 

این چندجمله‌ای دارای ویژگی‌های متعامد به‌صورت (8) است.

(8)

 

 

 

که  تابع چگالی نرمال است. تابع چگالی می‌تواند به‌صورت چندجمله‌ای هرمیت گسترش یابد:

(9)

 

 

که در آن

 

 

(10)

 
       

 

پس از جایگزینی معادلۀ (10) به معادلۀ (6) فرمول قیمت‌گذاری اختیار اروپایی در مدل گرام چارلیه با در نظر گرفتن چولگی و کشیدگی، به فرم (11) به دست می‎‌آید.

 

                        (11)

 

که در آن

 

 

و  نشان‌دهندۀ ضریب چولگی و نشان‌دهندۀ ضریب کشیدگی است.

 

در مدل پرش انتشار مرتون (1976)، فرایند قیمت سهام ( ) با اندازۀ احتمال فیزیکی ( ) فرض می‌شود که از معادلۀ دیفرانسیل تصادفی (12) پیروی می‌کند.

(12)

 

 

که بازدۀ مدنظر آنی،  تلاطم آنی بازدۀ دارایی پایه است که جزء پیوستۀ فرایند قیمت با حرکت براونی استاندارد  است و ناپیوستگی‌های فرایند قیمت توسط یک شمارندۀ پواسون  توصیف می‌شود که با شدت  و اندازۀ پرش  مشخص می‌شود. فرض بر این است که حرکت براونی ، فرایند پواسون و اندازۀ پرش مستقل هستند. احتمال جهش قیمت دارایی در بازۀ زمانی کوچک را می‌توان با استفاده از فرایند پواسون  نمایش داد؛ به‌طوری‌که

 

      و                  

 

قیمت سهام ، ارزش فرایند قیمت قبل از پرش است. هرگاه از  به  در بازۀ زمانی کوچک  پرش کند، درصد تغییر با  اندازه‌گیری می‌شود. قیمت  پرش‌های لگاریتمی-نرمال  را در هر زمان تصادفی  ارائه می‌دهد که زمان پرش یک فرایند پواسن را نشان می‌دهد (Jorion, 1988; Jondeau et al., 2007).

مدل پرش انتشار مرتون برخلاف مدل بلک شولز کامل نیست؛ بنابراین، انتخاب‌های زیادی برای تعریف اندازۀ احتمال ریسک خنثی Q وجود دارد که معادل با اندازۀ احتمال فیزیکی  باشد؛ به‌طوری‌که قیمت سهام تنزیل‌شدۀ  یک مارتینگل باشد؛ به‌عبارت‌دیگر انتظار مقدار آیندۀ فرایند، برابر با مقدار فعلی آن است. این ویژگی نشان‌دهندۀ عدم وجود روند صعودی یا نزولی در فرایند است؛ علاوه‌براین، برای اینکه قیمت سهام تنزیل‌شده یک مارتینگل باشد، پارامتر رانش  باید به‌صورت  تنظیم شود.

حل معادلۀ دیفرانسیل تصادفی مشخص‌شده در (12) دینامیک قیمت سهام را در یک اندازه‌گیری احتمال خنثی ریسک Q نشان می‌دهد که به شکل معادلۀ (13) است.

(13)

 

 

که در آن  اندازۀ پرش قیمت سهام در بازدۀ لگاریتمی است. قیمت اختیار اروپایی مرتون (1976) را می‌توان به‌صورت (14) بیان کرد.

(14)

 

 

 

که تابع  نشان‌دهندۀ توزیع تجمعی نرمال،  نشان‌دهندۀ قیمت جاری سهام،  نشان‌دهندۀ قیمت سهام در سررسید،  نشان‌دهندۀ قیمت اعمال،  نشان‌دهندۀ تاریخ انقضا،  نشان‌دهندۀ نرخ بهرۀ بدون ریسک و  نشان‌دهندۀ نوسان‌پذیری بازدۀ دارایی پایه است.

مدل کو (2002) دو بخش دارد: بخش اول پیوسته است و از حرکت براونی هندسی پیروی می‌کند و بخش دوم، فرایند جهشی است که وقوع پرش توسط یک فرایند پواسون و اندازۀ پرش از توزیع نمایی مضاعف پیروی می‌کند. دینامیک فرایند قیمت سهام به‌صورت (15) است.

(15)

 

 

که در  دارای توزیع مضاعف نمایی غیرمتقارن با تابع چگالی (16) است

(16)

 

 

که در آن  و  نشان‌دهندۀ احتمال پرش‌های به سمت بالا و پایین است؛ به‌عبارت‌دیگر

 

 

 

که در آن  و  متغیرهای تصادفی نمایی با میانگین  و  است. شرط  تضمین می‌کند که  و  است که معنی آن این است که به‌طور متوسط پرش‌های رو به بالا از 100درصد تجاوز نمی‌کند (Kou, 2002).

 

 

 

در اندازۀ ریسک خنثی عبارت است از:

 

 

  .

 

درنهایت اثر تغییرات داده‎‌ها بر روی قیمت اختیار با محاسبۀ خطا بررسی می‎‌شود. خطا به کمک روش  MAPE[4] به‌صورت (16) محاسبه می‎‌شود.

(16)                                                    

که نشان‌دهندۀ قیمت پایانی اختیار در بازار و  نشان‌دهندۀ قیمت محاسبه‌شدۀ اختیار و میزان تعداد مشاهدات است.

 

 یافته‌ها

در این پژوهش، داده‌های استفاده‌شده، قیمت پایانی سهم ایران‌خودرو با نماد خودرو در بازۀ زمانی 27/02/ 1399 تا 07/06/ 1403، قیمت پایانی سهم سرمایه‌گذاری تأمین اجتماعی با نماد شستا در بازۀ زمانی 11/12/ 1400 تا 07/06/  1403و قیمت پایانی صندوق سهامی کاریزما با نماد اهرم در بازۀ زمانی 29/09/ 1400 تا 07/06/  1403 است. نوسان‌پذیری قیمت نماد ‌خودرو، شستا و اهرم به روش داده‌های تاریخی برآورد شده است. قیمت اختیار خرید اروپایی در مدل بلک شولز، گرام‌چارلیه، مرتون و کو محاسبه و درنهایت با قیمت بازار اختیار مقایسه شده است. لازم به ذکر است که برای محاسبه و تحلیل داده‎‌ها از نرم‌افزار R نسخۀ 2-3-4 استفاده‌ شده است.

فرض اساسی در مدل بلک شولز این است که توزیع احتمال قیمت آتی دارایی‌های پایه، لگ نرمال است؛ اما در بازارهای مالی واقعی فرایند قیمت دارایی در مقایسه با توزیع لگ نرمال، دارای چولگی و کشیدگی غیرنرمال است که باعث ایجاد دم ‌سنگین‎‌تری در مقایسه با توزیع نرمال است (Chateau & Dufresne, 2017). برای ترکیب چولگی و کشیدگی غیرنرمال در فرمول قیمت‎‌گذاری اختیار معاملۀ بلک شولز از بسط گرام‌چارلیه تابع چگالی نرمال و مدل‌های پرش انتشار مرتون و کو استفاده می‎‌شود.

 

جدول (1):آماره‌های توصیفی

Table (1): Descriptive statistics

تعداد مشاهدات

بیشترین

کمترین

انحراف معیار

میانگین

کشیدگی

چولگی

آماره توصیفی

949

24171/0

07088/0-

02987/0

00077/0

09757/8

86047/0

بازدۀ ایران‌خودرو

572

05858/0

15554/0-

01961/0

00039/0

17929/14

17096/1-

بازدۀ شستا

631

09531/0

08843/0-

02674/0

00082/0

59558/4

34305/0

بازدۀ اهرم

 

باتوجه‌به جدول(1) مشاهده می‌شود که اختلاف بیشترین و کمترین در دورۀ بررسی‌شده زیاد است و نشان از تغییرات زیاد در دوره است و احتمال پرش وجود دارد (Kou, 2002). چولگی بزرگ داده‌ها از دنباله‌های پهن در توزیع بازده است. در شکل(1) نمودار قیمت روزانه و بازدۀ لگاریتمی روزانه برای نمادهای خودرو، شستا و اهرم ارائه ‌شده است.

 

 

 

الف) نمودار قیمت روزانۀ نماد خودرو

ب) نمودار بازدۀ لگاریتمی روزانۀ نماد خودرو

 

 

الف) نمودار قیمت روزانۀ نماد شستا

ب) نمودار بازدۀ لگاریتمی روزانۀ نماد شستا

 

 

الف) نمودار قیمت روزانۀ نماد اهرم

ب) نمودار بازدۀ لگاریتمی روزانۀ نماد اهرم

شکل (1): نمودار قیمت و بازدۀ لگاریتمی روزانۀ نمادهای خودرو، شستا و اهرم

Figure (1): Chart of price and daily logarithmic returns of the symbols of the khodro, Shasta and Ahrom

 

در جدول (2) نرمال‌بودن داده‌ها بررسی شده است. آزمون شاپیرو- ویلک[5] و جاک‌برا[6] آزمون‌های آماری هستند که فرض صفر نرمال و فرض جایگزین غیرنرمال‌ بودن است. باتوجه‌به جدول 2 مشاهده می‌شود که داده‌های هر سه سهم غیرنرمال هستند.

 

جدول (2): آزمون نرمال‌بودن

Table (2): Normality test

متغیر پژوهش

آزمون جاک– برا

آزمون شاپیرو – ویلک

وضعیت نرمال‌بودن

آمارۀ آزمون

سطح معنی‌داری

آمارۀ آزمون

سطح معنی‌داری

سری بازده روزانه نماد خودرو

4/1143

00000/0

94496/0

00000/0

غیرنرمال

سری بازده روزانه سهم شستا

9/3103

00000/0

89005/0

00000/0

غیرنرمال

سری بازده روزانه نماد اهرم

187/79

00000/0

96991/0

00000/0

غیرنرمال

 

در ادامه قبل از مدل‌سازی برای جلوگیری از انجام رگرسیون‌های کاذب، مانایی سری بازده توسط دو نوع آزمون مانایی دیکی–فولر تعمیم‌یافته[7] و کواتکویسکی-فیلپس-اشمیت-شین[8] بررسی شده است و مانایی سری بازده تأیید شد که در جدول (3) ارائه‌ شده است.

جدول (3): آزمون مانایی

Table (3): Stationarity test

متغیر تحقیق

آزمون دیکی–فولر تعمیم‌یافته

آزمون  KPSS

وضعیت مانایی

آماره آزمون

سطح معنی‌داری

آماره آزمون

سطح معنی‌داری

سری بازدۀ روزانۀ ایران‌خودرو

7438/7-

01/0

16463/0

1/0

مانا

سری بازدۀ روزانۀ شستا

9874/7-

01/0

08132/0

1/0

مانا

سری بازدۀ روزانۀ اهرم

4567/8-

01/0

14004/0

1/0

مانا

 

در ادامه در جدول (4) پارامترهای اولیه در مدل‎‌های مرتون و کو و در جدول (5) پارامترهای نهایی در مدل‎‌های مرتون و کو ‎تخمین زده می‎‌شود. لازم به ذکر است برای تخمین پارامترها از بازۀ زمانی اطلاعات پژوهش استفاده شده است.

 

جدول (4): تخمین اولیۀ پارامترها

Table (4): Initial estimation of parameters

داده

نام پارامترها

 

 

 

 

 

 

δ

 

خودرو

مدل مرتون

00007/0

0275/0

0094/0

_

_

_

6913/0

5246/0

مدل کو

00007/0

0275/0

0094/0

0073/0

0012/0

0035/0

_

_

شستا

مدل مرتون

0004/0-

0136/0

0665/0

_

_

_

4545/0

1698/0

مدل کو

0004/0-

0136/0

0665/0

0455/0

0035/0

0043/0

_

_

اهرم

مدل مرتون

00005/0

0203/0

0650/0

_

_

_

0906/0

0581/0

مدل کو

00005/0

0203/0

0470/0

0302/0

0420/0

0276/0

_

_

 

جدول (5): تخمین نهایی پارامترها

Table (5): Final estimation of parameters

داده

نام پارامترها

 

 

 

 

 

 

δ

 

خودرو

مدل مرتون

0011/0

0275/0

000001/0

_

_

_

6871/0

5213/0

مدل کو

0013/0-

0285/0

0022/0

0098/0

0111/0

0060/0

_

_

شستا

مدل مرتون

0003/0

0119/0

0002/0

_

_

_

4412/0

1567/0

مدل کو

0182/0-

0176/0

0480/0

0391/0

0436/0

0289/0

_

_

اهرم

مدل مرتون

0061/0-

0096/0

0596/0

_

_

_

0858/0

0542/0

مدل کو

0174/0-

0241/0

0470/0

0302/0

0420/0

0276/0

_

_

 

در ادامه در جداول (8)-(6) قیمت اختیار با چهار مدل بلک شولز، پرش انتشار کو، پرش انتشار مرتون و گرام‌چارلیه در سه نماد خودرو، شستا و اهرم تعیین می‌شود و قیمت اختیار خرید به‌دست‌آمده با قیمت بازار نمادهای اختیارهای آنها به ترتیب با نام‌های ضخود، ضستا و ضهرم مقایسه می‌شود.

برای نمایش بهتر عملکرد هر مدل در جداول (8)-(6) در قیمت‎‌هایی که خطای بسیار کمتری از سایر مدل‎‌ها ارائه شده است، از رنگ سبز در جدول و در قیمت‎‌هایی که خطای زیادی از سایر مدل‎‌ها ارائه شده، از رنگ قرمز استفاده شده است. اشکال (4)-(2) نیز ارائه شده است تا به‌خوبی به نمایش عملکرد هر مدل پرداخته ‌شود. لازم به ذکر است که در هر شکل نمودار قیمت مدل‎‌های پیشنهادی با قیمت بازار نشان داده شده است‌

جدول (6): اختیار خرید اروپایی نماد ‎‌خودرو با نوسان تاریخی با قیمت سهم 2452

Table (6): European call option of the khodro symbol with historical volatility with a share price of 2452

پرش انتشار کو

پرش انتشار مرتون

گرام‌چارلیه

بلک شولز

قیمت بازار

قیمت اعمال

روز تا اعمال

درصد خطا

قیمت

درصد خطا

قیمت

درصد خطا

قیمت

درصد خطا

قیمت

5175/0

587

6260/0

3/586

3965/0

7/587

4803/0

2/587

590

1900

28

7920/1

5/314

9101/0

8/311

3072/0

0/308

7851/2

6/317

309

2200

28

9879/21

2/173

9592/18

9/168

7803/17

2/167

6575/25

4/178

142

2400

28

5273/64

6/80

6385/55

3/76

5848/77

0/87

7467/75

1/86

49

2600

28

0197/188

7/31

2569/160

6/28

9590/357

4/50

8568/224

7/35

11

2800

28

6005/112

6/10

8127/80

0/9

9831/524

2/31

7077/157

9/12

5

3000

28

3841/11

2/2

6803/13

7/1

4734/661

2/15

2557/51

0/3

2

3250

28

7879/24

4/626

4072/24

5/624

5827/24

4/625

0650/25

8/627

502

1900

56

6617/5

7/537

1380/6

0/535

3495/6

8/533

2277/5

2/540

570

2000

56

6736/63

4/376

6640/61

8/371

9333/59

8/367

8629/65

5/381

230

2200

56

0325/31

0/245

7535/27

9/238

9162/27

2/239

8511/34

2/252

187

2400

56

4162/76

2/148

6622/68

7/141

3588/83

0/154

8150/85

1/156

84

2600

56

8650/317

5/83

0931/289

8/77

8400/419

9/103

0322/354

8/90

20

2800

56

0810/5

7/676

5543/5

4/673

3935/5

5/674

7021/4

5/679

713

1900

91

6048/2

1/594

3136/3

8/589

4341/3

0/589

9554/1

0/598

610

2000

91

0066/0

0/444

4088/1

7/437

8041/1

9/435

4926/1

6/450

444

2200

91

1950/6

6/318

5958/3

7/310

7953/4

4/314

1074/9

3/327

300

2400

91

1588/436

8/219

5915/415

4/211

5194/452

5/226

1674/460

7/229

41

2600

91

7097/18

3/146

2290/23

2/138

9317/6

5/167

2565/13

1/156

180

2800

91

4802/22

3/94

2008/13

1/87

5066/67

9/128

0362/34

2/103

77

3000

91

6031/175

3/52

8592/146

9/46

4577/413

5/97

9012/212

5/59

19

3250

91

5380/6

9/715

1075/7

5/711

7759/6

0/714

0772/6

5/719

766

1900

119

0609/4

8/636

1854/3

5/631

3514/3

5/632

8523/4

7/641

612

2000

119

2088/2

6/370

5485/4

7/361

7709/2

5/368

3437/0

3/380

379

2400

119

9833/34

3/271

1813/30

6/261

0947/39

5/279

4470/40

3/282

201

2600

119

4918/41

8/193

4690/34

2/184

7722/57

1/216

7480/49

2/205

137

2800

119

7224/80

5/135

8294/68

6/126

4494/129

0/172

1198/95

3/146

75

3000

119

2399/23

4/84

0307/30

9/76

5367/22

8/134

7198/14

8/93

110

3250

119

5777/63

 

1357/57

 

2876/124

 

5095/73

میانگین خطا
                         

 

باتوجه‌به جدول (6) در نماد خودرو در کوتاه‌مدت (28 روزه) در حالت در سود، مدل گرام خطای کمتری از خود نشان می‎‌دهد و درمجموع میانگین خطا، مدل پرش انتشار مرتون خطای کمتری را از سه مدل دیگر در مقایسه با قیمت بازار نشان می‎‌دهد؛ از طرف دیگر در حالت در ضرر، مدل گرام در کلیۀ حالات (کوتاه‌مدت، میان‌مدت و بلندمدت) خطای بسیار بالایی را از سایر مدل‎‌ها از خود نشان می‎‌دهد.

شکل (2): نمودار قیمت اختیار نماد خودرو با مدل‎‌های بلک شولز، گرام‌چارلیه، مرتون و کو در مقایسه با بازار

Figure (2): Chart of khodro symbol option price with Black Scholes, Gram Charlier, Merton and Kou models compared to the market

 

جدول (7): اختیار خرید اروپایی نماد شستا با نوسان تاریخی با قیمت سهم 1140

Table (7): European call option of Shasta symbol with historical volatility with a share price of 1140

انتشار پرش کو

انتشار پرش مرتون

گرام‌چارلیه

بلک شولز

قیمت بازار

قیمت اعمال

روز تا اعمال

درصد خطا

قیمت

درصد خطا

قیمت

درصد خطا

قیمت

درصد خطا

قیمت

4153/0

1/458

0283/1

3/455

0644/1

1/455

0284/1

3/455

460

700

35

5516/4

7/360

6090/3

5/357

5885/3

4/357

6090/3

5/357

345

800

35

2867/1

3/263

0996/0

7/259

8228/0

1/262

0996/0

7/259

260

900

35

1908/3

2/167

0595/0

9/161

2500/6

1/172

3867/1

3/164

162

1000

35

1858/15

8/81

0058/2

6/69

2299/7

2/76

5169/15

0/82

71

1100

35

4838/22

9/26

7704/38

5/13

0895/37

9/13

5326/34

6/29

22

1200

35

5861/0

2/472

6325/1

3/467

6978/1

9/466

6325/1

3/467

475

700

63

6260/25

9/376

7126/23

1/371

0843/24

3/372

7253/23

2/371

300

800

63

6419/0

8/281

7731/1

0/275

9943/0

8/282

5061/1

8/275

280

900

63

3582/2

4/189

5439/7

4/179

6597/0

7/192

7316/4

8/184

194

1000

63

3277/2

4/108

3642/18

6/90

6026/11

1/98

2388/3

4/107

111

1100

63

3788/36

4/50

5598/19

8/29

3917/17

6/30

4847/42

7/52

37

1200

63

3419/8

4/489

7506/9

9/481

7506/9

9/481

7506/9

9/481

534

700

98

2194/32

6/396

3033/29

9/387

6572/30

9/391

3806/29

1/388

300

800

98

6907/14

5/304

6660/17

9/293

2761/14

0/306

1164/17

9/295

357

900

98

7649/18

1/216

3527/10

8/200

5408/18

7/215

0174/15

3/209

182

1000

98

5494/30

2/138

2676/42

9/114

0179/38

3/123

0764/32

1/135

 199

1100

98

4880/47

6/78

5085/4

6/50

4594/1

2/52

0463/49

0/79

53

1200

98

5839/0

9/502

3140/1

4/493

1745/1

1/494

3058/1

5/493

500

700

126

2445/23

3/322

4831/26

7/308

1051/23

9/322

7765/25

7/311

420

900

126

7821/32

6/236

1735/38

6/217

7545/33

2/233

2428/35

9/227

352

1000

126

1106/9

4/160

3056/9

3/133

1181/3

4/142

8106/5

5/155

147

1100

126

3374/68

8/28

4194/90

7/8

7772/84

8/13

5590/64

2/32

91

1400

126

0101/18

 

5296/17

 

2409/17

 

5087/18

میانگین خطا

 

باتوجه‌به جدول (7) در نماد شستا در سود در کلیۀ حالات (کوتاه‌مدت، میان‌مدت و بلندمدت) مدل کو خطای بسیار کمتری از سایر مدل‎‌ها دارد. درمجموع میانگین خطا، مدل گرام‌چارلیه خطای کمتری را از سه مدل دیگر در مقایسه با قیمت بازار نشان می‎‌دهد؛ از طرف دیگر مدل مرتون در حالت خنثی، در کلیۀ حالات (کوتاه‌مدت، میان‌مدت و بلندمدت) خطای بسیار بالایی در مقایسه با سایر مدل‎‌ها دارد.

 

شکل (3): نمودار قیمت اختیار نماد شستا با مدل‎‌های بلک شولز، گرام‌چارلیه، مرتون و کو در مقایسه با بازار

Figure (3): Shasta symbol option price chart with Black Scholes, Gram Charlier, Merton and Kou models compared to the market

 

 

جدول (8): اختیار خرید اروپایی نماد اهرم با نوسان تاریخی در قیمت سهم 16860

Table (8): European call option of the Ahrom symbol with historical volatility in the share price of 16860

انتشار پرش کو

انتشار پرش مرتون

گرام‌چارلیه

بلک شولز

قیمت بازار

قیمت اعمال

روز تا اعمال

درصد خطا

قیمت

درصد خطا

قیمت

درصد خطا

قیمت

درصد خطا

قیمت

3750/2

3/4063

5594/1

9/4030

4273/1

6/4025

6016/1

6/4032

3969

13000

21

2214/2

6/2142

8481/1

3/2057

6628/0

9/2109

8053/1

8/2133

2096

15000

21

8207/18

4/1309

0587/2

3/1079

4651/21

5/1338

7595/20

8/1330

1102

16000

21

5953/55

1/294

4216/87

8/23

0636/105

6/387

6800/80

5/341

189

18000

21

3864/31

2/30

1022/99

4/0

4636/8

7/47

8365/10

8/48

44

20000

21

8907/4

8/4340

7645/6

3/4255

8275/6

4/4252

1728/6

3/4282

4564

13000

49

2781/6

2/3415

8327/9

7/3285

3223/8

7/3340

4379/7

0/3373

3644

14000

49

9881/0

5/2552

1116/10

3/2317

9133/1

7/2528

5286/1

6/2538

2578

15000

49

5425/7

0/1797

7524/17

3/1374

5167/10

7/1846

7093/8

6/1816

1671

16000

49

4029/23

5/730

8861/72

5/160

4386/47

8/872

9800/33

2/793

592

18000

49

4540/6

7/226

3124/98

6/3

7244/52

3/325

4571/32

2/282

213

20000

49

1236/45

2/53

7476/99

2/0

8742/15

6/81

5610/13

9/83

97

22000

49

3406/17

6/4693

2555/13

2/4530

3208/14

8/4572

2254/15

0/4609

4000

13000

84

2184/3

8/3823

3401/9

0/3582

3771/5

5/3738

7872/4

9/3761

3951

14000

84

9869/0

5/3019

7896/11

5/2637

2552/0

6/2997

0279/0

2/2989

2990

15000

84

5389/5

0/2306

0356/21

3/1725

9989/7

7/2359

7452/5

6/2310

2185

16000

84

8960/30

4/1213

7254/56

2/401

5702/48

2/1377

2716/37

5/1272

927

18000

84

2501/34

9/558

0753/96

4/33

8683/14

6/723

4121/25

0/634

850

20000

84

1256/35

1/227

5101/99

7/1

3020/6

9/327

1745/17

9/289

350

22000

84

5372/91

6/80

9825/99

2/0

3941/87

1/120

0372/87

5/123

953

24000

84

3258/8

1/4971

4184/3

9/4745

3359/5

9/4833

0558/6

9/4866

4589

13000

112

4041/3

2/4136

6380/4

5/3814

0774/1

1/4043

4160/1

6/4056

4000

14000

112

0944/9

5/3363

9325/21

5/2888

8043/9

2/3337

3681/10

4/3316

3700

15000

112

8704/2

1/2671

4522/27

0/1995

0739/1

5/2720

2992/3

3/2659

2750

16000

112

0807/12

1/1569

9732/55

4/616

0722/24

0/1737

5401/15

6/1617

1400

18000

112

0610/12

7/842

7954/87

8/91

9708/37

5/1037

3829/22

3/920

752

20000

112

2654/3

9/6964

7105/5

8/6788

6519/5

0/6793

2641/5

1/6821

7200

11000

140

3357/0

6/3687

2800/15

6/3134

2536/1

6/3653

1091/2

9/3621

3700

15000

140

7402/8

6/3011

6010/31

2/2257

4917/7

8/3052

6547/9

4/2981

3300

16000

140

5564/4

0/1906

8465/57

8/841

7193/3

3/2071

8645/2

8/1939

1997

18000

140

0704/13

1/1130

0444/86

4/181

2319/3

0/1342

4721/7

9/1202

1300

20000

140

8243/12

9/631

7833/95

6/23

3430/46

5/819

9574/27

6/716

560

22000

140

6618/15

 

9711/41

 

9493/58

 

0414/16

میانگین خطا

 

 

 

باتوجه‌به جدول (8) در نماد اهرم در سود و خنثی در بیشتر حالات (کوتاه‌مدت، میان‌مدت و بلندمدت) مدل کو خطای بسیار کمتری از سایر مدل‎‌ها دارد. درمجموع میانگین خطا، مدل کو خطای کمتری را از سه مدل دیگر در مقایسه با قیمت بازار نشان می‎‌دهد؛ از طرف دیگر مدل مرتون در حالت خنثی و ضرر، در کلیۀ حالات (کوتاه‌مدت، میان‌مدت و بلندمدت) خطای بسیار بالایی در مقایسه با سایر مدل‎‌ها از خود نشان می‎‌دهد.

 

شکل (4): نمودار قیمت اختیار نماد اهرم با مدل‎‌های بلک شولز، گرام‌چارلیه، مرتون و کو در مقایسه با بازار

Figure (4): Option price chart of the Ahrom symbol with Black-Scholes, Gram-Charlier, Merton and Kou models compared to the market

 

باتوجه‌به چولگی منفی و کشیدگی بیش‌ازحد نماد شستا که از جدول (1) به‌ دست ‌آمده است و براساس نتایج به‌دست‌آمده از جدول (7) می‎‌توان نتیجه گرفت که در شرایط چولگی منفی و کشیدگی بیش‌ازحد داده‎‌ها، مدل گرام‎‌چارلیه مدل مناسب‌تری در مقایسه با مدل‎‌های پرش مثل مرتون و کو است. باتوجه‌به چولگی و کشیدگی به‌نسبت پایین نماد اهرم که از جدول (1) به ‌دست ‌آمده است و براساس نتایج به‌دست‌آمده از جدول (8) می‎‌توان نتیجه گرفت که در شرایطی که چولگی و کشیدگی داده‎‌ها کم است و داده‎‌ها رفتار نرمال‎‌تری دارند، مدل کو در کنار مدل بلک شولز می‎‌تواند مدل مناسبی برای قیمت‎‌گذاری باشد؛ اما در این شرایط به سبب خطاهای بسیار بالای مدل مرتون این مدل پیشنهاد نمی‎‌شود.

 

بحث و نتیجه‎‌گیری

درمجموع پژوهش‎‌های داخلی محدودی درخصوص قیمت‎‌گذاری اختیار معامله اروپایی صورت پذیرفته است و پژوهش‎‌های موجود هم متمرکز فقط بر روی یکی از مدل‎‌ها است؛ برای نمونه کیمیاگری و آفریده‎‌ثانی (2008) و ابوالی و همکاران (2019) فقط معادلۀ بلک شولز را بررسی کردند. دو فرض اساسی در مدل بلک شولز ثابت‌بودن نوسان و تبعیت از توزیع نرمال بازده‌ها است که در بسیاری از شرایط واقعی بازار صدق نمی‎‌کند و رفتار واقعی بازار را نشان نمی‎‌دهد. بعضی از پژوهش‎‌های داخلی مثل نصرالهی و همکاران (2023) یا بهرادمهر و طهماسبی (2022) فرض عدم ثابت‌بودن نوسان را بررسی کرده‌‎‌اند و به فرض غیرنرمال بودن داده‎‌ها در آنها توجه نشده است. در بعضی از پژوهش‎‌ها ازجمله نبوی و بهرام‌زاده (2018)، محمدی‎‌نژاد و نیسی (2022) و پیمانی و همکاران (2023) نیز کارایی مدل‎‌ پرش انتشار مرتون بررسی شده است؛ از طرف دیگر در پژوهش حدادی و نصرالهی (2024) نیز فقط به قیمت‎‌گذاری مدل گرام‌چارلیه توجه شده است. هدف اصلی این پژوهش تعیین قیمت اختیار خرید اروپایی در دارایی‌هایی است که توزیع بازدۀ داده‌های آنها غیرنرمال یا با پرش است؛ در این راستا قیمت اختیار در چهار مدل بلک شولز، گرام‌چارلیه، مدل پرش انتشار مرتون و مدل پرش انتشار کو با نوسان تاریخی در سررسیدهای مختلف و در حالت‎‌های در سود، بی‌تفاوت و در ضرر برای سه نماد خودرو، شستا و اهرم مقایسه ‌شده است. قیمت‌گذاری اختیار اروپایی با بسط گرام‌چارلیه با رویکرد چندجمله‌ای هرمیت به دست می‌آید.

نتایج این پژوهش نشان داد که قیمت اختیار در نماد شستا با استفاده از مدل گرام‌چارلیه بسیار بهتر از قیمت اختیار با مدل کو و مرتون است که این موضوع به‌ سبب چولگی منفی و کشیدگی بیش‌ازحد است؛ بنابراین، می‎‌توان نتیجه گرفت که در داده‎‌های با چولگی منفی و کشیدگی بیش‌ازحد مدل گرام‌چارلیه از مدل‎‌های پرش مرتون و کو نتایج بهتری دارد؛ اما درخصوص نماد خودرو، مدل مرتون قیمت دقیق‌تری برای اختیار در مقایسه با مدل گرام‎‌ چارلیه و کو ارائه می‎‌دهد که این موضوع به سبب کشیدگی بالا است. درخصوص نماد اهرم نیز مدل کو قیمت دقیق‌تری برای اختیار در مقایسه با مدل گرام‎‌چارلیه و مرتون ارائه می‎‌دهد که این موضوع به سبب چولگی و کشیدگی نسبتاً نرمال است؛ بنابراین، می‎‌توان نتیجه گرفت که در داده‎‌های نرمال یا در داده‌هایی که نرمال‌بودن آنها با آزمون‌ رد شده است، اما چولگی و کشیدگی غیرنرمالی برآورد نمی‌شود، مدل کو مدل بسیار مناسبی است؛ از طرف دیگر در داده‌های غیرنرمال با فقط کشیدگی بالا و بدون چولگی، مدل مرتون می‎‌تواند مدل مناسبی برای قیمت‎‌گذاری باشد.

 

[1] Gram-Charlier

[2] Gram-Charlier

[3] Hermite

[4] Mean Absolute Percentage Error

[5] Shapiro-Wilk Test

[6] Jarque Bera Test

[7] Augmented Dickey–Fuller test

[8] Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin (KPSS) tests

References

Abdurakhman. (2019). The fifth-moment effect in Black-Scholes model and Its performance at market. In Applied Mathematical Sciences, 13(13), 617–622. https://doi.org/10.12988/ams.2019.9570
Abvali, M., Khalili, A., Hassanabadi, M., & Yaghoobnezhad, A. (2019). Optional trading pricing with a new analytic method for the Black-Scholes equation. Journal of Financial Management Strategy, 7(3), 135-155. https://doi.org/10.22051/jfm.2019.21835.1763 [In Persian].
Ahmadi, M. R., & Esmaili, N. (2024). Geometric Asian rainbow option on the Iranian Stock Market. Journal of Securities Exchange, 16(63), 149-168. https://doi.org/10.22034/jse.2023.11852.1906 [In Persian].
Baghestani, M., Pishbahar, E., & Dahsti, G. (2018). The pricing of Asian options using Monte Carlo simulation (Case study: Soybean meal). Agricultural Economics, 12(3), 1-26. https://doi.org/10.22034/iaes.2018.33525 [In Persian].
Bahradmehr, N., & Tahmasebi, N. (2022). Pricing the gold coin options of Iran Mercantile Exchange market: "Black Scholes" and "Put-Call Parity" approaches. Journal of Financial Economics (Financial Economics and Development), 16(60), 69-92. [In Persian].
Black, F. & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. The Journal of Political Economy, 8(3), 637-654.
Berberan-Santos, M. N. (2007). Computation of one-sided probability density functions from their cumulants. Journal of Mathematical Chemistry, 41, 71-77. https://doi.org/10.1007/s10910-006-9069-x
Chateau, J. P., & Dufresne, D. (2017). Gram‐charlier processes and applications to option pricing. Journal of Probability and Statistics, 2017, 8690491, 1-19. http://dx.doi.org/10.1155/2017/8690491
Corrado, C. J., & Su, T. (1996). S&P 500 index option tests of Jarrow and Rudd's approximate option valuation formula. Journal of Futures Markets: Futures, Options, and Other Derivative Products, 16(6), 611-629. https://doi.org/10.1002/(SICI)1096-9934(199609)16:6<611::AID-FUT1>3.0.CO;2-I
Cupidon, J. R., & Hyppolite, J. (2022). An exchange rate model where the fundamentals follow a jump-diffusion process. Cogent Economics & Finance, 10(1), 2082025. https://doi.org/10.1080/23322039.2022.2082025
Darabi, R., & Marufkhani, M. (2016). Evaluation of new financial instruments. Auditor, 18(82) , 72-79. [In Persian].
Fallahpour, S. & Motaharinia, V. (2017). Including jump components in modeling and forecasting realized volatility: Evidence from Tehran Stock Exchange. Financial Engineering and Securities Management (Portfolio Management), 8(32), 171-190. [In Persian].
Fama, E. F. (1965). The behavior of stock-market prices. The journal of Business, 38(1), 34-105. https://doi.org/10.1086/294743
Farzanegan, E. (2024). Analyzing the information contained in the skewness and kurtosis of TEPIX returns for forecasting risk: GARCH model with Gram-Charlier expansions for innovations. Financial Management Perspective, 14(45), 149-174. https://doi.org/10.48308/jfmp.2024.104895 [In Persian].
Haddadi, M. R., & Nasrollahi, H. (2024). The effect of skewness and skewness on option pricing under non-normal distribution. Journal of Securities Exchange, 17(66), 29-54. https://doi.org/10.22034/jse.2024.12400.2244 [In Persian].
Hajizadeh, E., & Mahootchi, M. (2019). A simulation-based optimization model for pricing basket options. Financial Engineering and Securities Management (Portfolio Management), 10(38), 306-327. [In Persian].  
Hout, K. J. (2024). An efficient numerical method for American options and their Greeks under the two-asset Kou jump-diffusion model. ArXiv Preprint ArXiv:2410.10444. https://doi.org/10.48550/arXiv.2410.10444
Hull, J. (1993). Options, Futures, and other Derivative Securities. Englewood Cliffs.
Laplace. (1811). Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les resultats des observations" [Memoire on definite integrals and their application to probabilities, and especially to the search for the mean which must be chosen among the results of observations]. Mémoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut Impérial de France, 11, 297–347. [In French].
Jarrow, R., & Rudd, A. (1982). Approximate option valuation for arbitrary stochastic processes. Journal of financial Economics, 10(3), 347-369. https://doi.org/10.1016/0304-405X(82)90007-1
Jondeau, E., & Rockinger, M. (2001). Gram–charlier densities. Journal of Economic Dynamics and Control, 25(10), 1457-1483. http://dx.doi.org/10.1016/S0165-1889(99)00082-2
Jondeau, E., Poon, S. H., & Rockinger, M. (2007). Financial Modeling Under Non-Gaussian Distributions. Springer Science & Business Media. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-84628-696-4
Jorion, P. (1988). On jump processes in the foreign exchange and stock markets. The Review of Financial Studies, 1(4), 427-445.
Kimyagari, A. M., & Afridehsani, E. (2008). Suggestion a composed option pricing model based on Black-Scholes and binomial tree models (Case study in Tehran Stock Exchange). International Journal of Industrial Engineering and Production Management (IJIE), 19(4), 119-127. [In Persian].
Knight, J. L., & Satchell, S. E. (1997). Existence of unbiased estimators of the Black/Scholes option price, other derivatives, and hedge ratios. Econometric Theory, 13(6), 791-807.
Kou, S. G. (2002). A jump-diffusion model for option pricing. Management s Science, 48(8), 1086-1101.
Lorig, M., & Lozano-Carbassé, O. (2012). Exponential L\'evy-type models with stochastic volatility and stochastic jump-intensity, SSRN Electronic Journal. https://doi.org/10.48550/arXiv.1205.2398
Mandelbrot, B. B. (1997). The variation of certain speculative prices. In Fractals and Scaling in Finance (pp. 371-418). Springer, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2763-0_14
Maruddani, D. A. I., & Safitri, D. (2019). The effect of extreme asset prices to the valuation of zero coupon bond with jump diffusion processes. Journal of Physics: Conference Series, 1217(1), 012075. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1217/1/012075
Matsuda, K. (2004). Introduction to Merton Jump Diffusion Model. Department of Economics, The Graduate Center, The City University of New York.
Merton, R. C. (1976). Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of Financial Economics, 3(1-2), 125-144. https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2
Mohammadinejad, R., & Nisi, A. (2022). Spread option pricing based on two Jump-diffusion libor interest rate models. Financial Management Perspective, 12(38), 35-49. https://doi.org/10.52547/JFMP.12.38.35  [In Persian].
Nabavi, C. S. A., & Bahramzade, R. (2018). Survey of efficiency Levy process in pricing options. Financial Knowledge of Security Analysis (Financial Studies), 11(38), 117-127. [In Persian].
Nandi, S. (1996). Pricing and Hedging Index Options Under Stochastic Volatility: An Empirical Examination. FRB Atlanta Working Paper 96-9, Federal Reserve Bank of Atlanta.
Nasrollahi, H., Haddadi, M. R., & Guderzi, M. (2023). Generalized Black-Scholes model under Garch volatility with conditional value-at-risk calculation in derivative pricing. Financial Management Strategy, 11(4), 51-70. https://doi.org/10.22051/jfm.2023.43857.2828 [In Persian].
Nthiwa, J. K., Kube, A. O., & Omari, C. O. (2023). A Jump Diffusion Model with Fast Mean‐Reverting Stochastic Volatility for Pricing Vulnerable Options. Discrete Dynamics in Nature and Society, 2023(1), 2746415. https://doi.org/10.1155/2023/2746415
Ord, K., & Stuart, A. (1994). Kendall's Advanced Theory of Statistics: Distribution Theory. John Wiley & Sons.
Peymani, M., Amiri, M., & Sekot, S. M. (2023). Valuation of option bonds with random interest rate in Tehran Stock Exchange. Financial Management Perspective, 13(41), 91-115. https://doi.org/10.48308/jfmp.2023.103891 [In Persian].  
Pourhaidari, O. (1999). The pricing model of trading options. Financial Research, 4(13), 97-125. [In Persian].
Rubinstein, M. (1994). Implied binomial trees. The Journal of Finance, 49(3), 771-818. https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1994.tb00079.x
Sepp, A. & Skachkov, I. (2003). Option Pricing with Jumps. Wilmott Magazine, 50-58.
Shakran, Z. (2012). Valuation of American trading options under stochastic turbulence. The Third Conference of Financial Mathematics and Applications, Semnan, Semnan University. [In Persian].
Supandi, E. D., Rosadi, D., & Abdurakhman. (2017). Improved Robust Portfolio Optimization. Malaysian Journal of Mathematical Sciences, 11(2), 239–260.
Utama, R. C., Hilnie, A. M. F., & Siswahyudi, W. A. (2022). European put option pricing model with Gram-Charlier expansion in third moments. Perwira Journal of Science & Engineering, 2(1), 41-49. https://doi.org/10.54199/pjse.v2i1.118
Zoia, M. G., Vacca, G., & Barbieri, L. (2020). Modeling multivariate financial series and computing risk measures via Gram–Charlier-Like expansions. Risks, 8(4), 123. https://doi.org/10.3390/risks8040123

Files

Share

How to cite

Statistics