stock selection by using hierarchical risk parity method and minimum spanning tree based on correlation coefficients matrix in the 50 most active companies of Tehran Stock Exchange

Articles in Press

Document Type : Research Paper

Authors

1 Associate Professor, Department of Financial Engineering, Faculty of Accounting and Financial Sciences, University of Tehran, Tehran, Iran

2 M.A. Department of Financial Engineering, Faculty of Accounting and Financial Sciences, University of Tehran, Tehran, Iran

Abstract

Portfolio optimization represents a central challenge in financial investment. This study evaluates the performance of a proposed stock selection model for the Tehran Stock Exchange, comparing its outcomes to both the market index and the Markowitz model using statistical tests. Portfolios were constructed by applying the Hierarchical Risk Parity (HRP) method combined with marginal asset selection, utilizing two distinct correlation matrices. These portfolios were rebalanced semiannually based on updated correlation coefficients and the composition of the Top 50 Active Companies Index. The results demonstrate that the HRP approach with asset selection generally outperforms both the index and the Markowitz model in terms of portfolio performance, a finding consistent across various market conditions, including recessions and booms. Statistical tests confirm the significant superiority of this method over the Markowitz approach. Furthermore, this research achieved effective diversification within the Tehran Stock Exchange using fewer assets than other methods. The primary innovation of this work lies in the application of two distinct correlation matrices and the implementation of two novel methodologies for asset weighting and selection, offering practical insights for both individual and institutional investors.
Keywords: Portfolio Optimization, Hierarchical Risk Parity, Minimum Spanning Tree, Asset Selection, Marginal Sssets
JEL Classification: C61, G11, G32
 
Introduction
The process of selecting financial assets and constructing an investment portfolio has long been characterized by uncertainty. Portfolio management—which entails the analysis, selection, and ongoing maintenance of a collection of investments—is inherently complex and often lacks a formalized structure. Capital markets allow investors to allocate surplus capital across various assets to generate profit. A primary objective of investment is to distribute capital among a set of assets in a manner that maximizes expected return while minimizing associated risk (Namaki & Kafi Mousavi, 2023). Investors tend to prefer assets or asset combinations that offer the highest expected return for a given level of risk. Consequently, understanding the future price behavior of assets, the factors that influence them, and their associated risks is essential (Noorahmadi & Sadeghi, 2023). The stock market, as a central investment venue, has attracted significant attention, yet the selection of an optimal stock portfolio remains a complex challenge influenced by numerous variables (Tavakoli et al., 2013).
Accurately assessing portfolio risk requires a clear understanding of the dynamic relationships among assets. While correlation matrices are commonly used for this purpose, they often contain noise due to market instability. Techniques such as Minimum Spanning Trees (MST) and Planar Maximally Filtered Graphs (PMFG) can help filter this noise and clarify underlying asset linkages (Pozzi et al., 2013). Financial markets also exhibit inherent hierarchical structures, with interconnected industries and sectors. Hierarchical Risk Parity (HRP)—the core methodological framework of this study—capitalizes on such structures to achieve improved diversification and risk control. By integrating HRP with MST and employing two distinct correlation matrices, this research seeks to construct efficient portfolios within the Tehran Stock Exchange, balancing theoretical rigor with practical applicability.
 
Materials and Methods
The data for this study were sourced from the historical trading records of the Tehran Stock Exchange (TSE), with a specific focus on its 50 most active companies. The analysis covers the period from 2016 to early 2023. All data processing and model implementation were performed using Python. Initially, the logarithmic daily returns for the selected stocks were computed for each six-month interval. These returns were then used to derive covariance and correlation matrices. Two distinct types of correlation matrices were employed: a Full Cross-Correlation (FC) matrix and a Global Motion Subtracted Correlation (GMSC) matrix. The GMSC was obtained by filtering out the market-wide component based on the eigenvalue distribution defined by the Marchenko–Pastur theorem.
The Hierarchical Risk Parity (HRP) method was subsequently applied for portfolio construction. The correlation matrices were first converted into metric distance matrices, after which Minimum Spanning Trees (MST) were generated using Kruskal’s algorithm. The HRP algorithm itself follows a three-step procedure: (1) hierarchical clustering to group assets with similar return profiles, (2) quasi-diagonalization of the covariance matrix to order correlated assets contiguously, and (3) recursive bisection for top-down capital allocation, wherein riskier clusters are assigned proportionally lower weights. To improve diversification and streamline the portfolio, a marginal asset selection process was implemented using modified network centrality and periphery metrics—specifically, degree, betweenness, closeness, eccentricity, and eigenvector centrality. Assets identified as peripheral based on a composite of these centrality measures were selected for inclusion. Portfolios of varying sizes (comprising 3, 5, 10, 20, and 30 assets) were formed and rebalanced on a semiannual basis. The performance of the portfolios constructed using the HRP methodology was evaluated against two benchmarks: the TSE Top 50 Index and a classical Markowitz mean–variance optimization model. The Markowitz model was constrained to non-negative weights in accordance with the short-selling restrictions present in the Iranian capital market.
 
Findings
The analysis was conducted using adjusted price data for the 50 most active companies on the Tehran Stock Exchange from July 2016 to January 2023. From logarithmic and normalized returns, two distinct correlation matrices were constructed: a Full Cross-Correlation (FC) matrix and a Global Motion-Subtracted Correlation (GMSC) matrix. These matrices were used to build Minimum Spanning Trees (MSTs), identify marginal assets, and implement the Hierarchical Risk Parity (HRP) algorithm, which involved hierarchical clustering, quasi-diagonalization, and recursive bisection. Eight distinct portfolio strategies were evaluated based on the number of assets (5, 10, 25, 50) and the type of correlation matrix used. The results indicate that HRP-based portfolios consistently outperformed both the Top 50 Index and the Markowitz model across several key metrics, including cumulative returns, annualized returns, Sharpe ratios, and drawdown reduction. For instance, the GMSC-HRP (10 assets) and FC-HRP (5 assets) strategies achieved cumulative returns of 2966% and 2625%, respectively, compared to the index's return of 2034%. The Wilcoxon signed-rank test confirmed the statistically significant superiority of six out of the eight HRP-based portfolios at the 10% significance level.
A regime-based analysis further contextualizes these results. HRP portfolios delivered performance comparable to the index during stable periods, significantly outperformed it during the bull market (2017–2020), and demonstrated a marked ability to mitigate losses during the subsequent bear market (2021–2022). Notably, FC-HRP models were found to be more effective for smaller portfolio sizes, making them suitable for individual investors, whereas GMSC-HRP models performed better with larger portfolios, aligning with the needs of institutional investors. In summary, the HRP approach, combined with MST-based marginal asset selection, provided robust diversification, superior risk-adjusted returns, and demonstrated resilience across varying market conditions.
 
Discussion and Conclusion
The findings demonstrate that the Hierarchical Risk Parity (HRP) approach, combined with asset selection, generally outperformed the Top 50 Index, resulting in lower portfolio standard deviation and superior risk-adjusted returns, as evidenced by higher Sharpe ratios. Both correlation inputs—the Full Cross-Correlation (FC) and the Global Motion Subtracted Correlation (GMSC) matrices—were found to be effective within the HRP framework. A principal contribution of this study is the novel simultaneous application of the GMSC matrix and the integration of HRP asset weighting with MST-based marginal asset selection, specifically for the Tehran Stock Exchange (TSE). The results suggest a distinct advantage based on portfolio size: the FC matrix yielded superior performance for smaller portfolios (e.g., 5 assets), whereas the GMSC matrix proved more effective for larger portfolios. Consequently, FC-based HRP models are recommended for individual investors with limited capital, while GMSC-based strategies appear better suited for institutional investors. HRP-based portfolios delivered particularly strong results during the bull market (2017–2020) and demonstrated notable resilience during the subsequent downturn beginning in August 2020, effectively mitigating losses.
Furthermore, the HRP weighting method, even without asset selection, improved the performance of the full 50-asset portfolio compared to simple index weighting. The use of marginal asset selection via Minimum Spanning Tree (MST) facilitates efficient diversification with a smaller asset count, reducing associated trading costs while preserving portfolio efficiency. Future research could enhance the model by integrating HRP with machine learning techniques or exploring advanced graph-based market structures to improve predictive accuracy and interpretability. Extending this methodology to other asset classes in the Iranian market, such as bonds, gold ETFs, and derivatives, would further test its capacity for risk reduction and return enhancement.

Keywords

Main Subjects

Full Text

مقدمه

از دیرباز، تصمیم‌گیری دربارة انتخاب صحیح دارایی‌های مالی و سهام برای ایجاد سبد سرمایه‌گذاری، همیشـه بـا تردیـد همراه بوده است و این مسئله یکی از دغدغه‌های اساسـی مـدیران سرمایه‌گذاری و سرمایه‌گذاران بـوده اسـت. مـدیریت سـبد سرمایه‌گذاری سهام که شامل تجزیه‌وتحلیل ترکیب سرمایه‌گذاری‌ها و انتخـاب و مـدیریت نگهـداری مجموعه‌ای از سرمایه‌گذاری‌هاست، فرایند پیچیده‌ای است و اغلب از ساختار خاصی تبعیت نمی‌کند. بازارهای سرمایه باعث می‌شوند تـا سرمایه‌گذاران منابع مالی مازاد خود را در یک یا چند دارایی سرمایه‌گذاری کنند و از ایـن طریـق سـود بـه دسـت آورنـد. یکی از مهم‌ترین اهداف سرمایه‌گذاری تخصیص سرمایه به مجموعه‌ای از دارایی‌ها برای به حداکثر رساندن بازده و به حداقل رساندن ریسک است (Namaki & Kafimousavi, 2023).

در اساس، فرد سرمایه‌گذار در زمان سرمایه‌گذاری ترجیح می‌دهد تـا دارایـی یـا ترکیبی از دارایی‌ها را انتخاب کند که در آینده با ریسک معین، بیشترین بازده را داشته باشـد؛ بنـابراین، سرمایه‌گذاران و تحلیل‌گران به دنبال دانستن قیمت آیندۀ دارایی‌ها و عوامل مؤثر بر آن و ریسک این دارایی‌ها هستند. تجزیه‌وتحلیل بازارهـای مالی و ریسک‌های اساسی صنعت بسیار مهم است و تأثیر آن در توسعه و طراحی سبد سرمایه‌گذاری و راهبرد‌های سرمایه‌گذاری بسیار مهم و شایان توجه است (Nourahmadi & Sadeghi, 2022).

یکی از مهم‌ترین گزینه‌هایی که امروزه توجه سرمایه‌گذاران را به خود جلب کرده است، بورس اوراق بهادار و تشکیل سبد بهینه در آن است. به هر حال انتخاب و گزینش سهام شرکت‌های پذیرفته‌شده در بورس اوراق بهادار و تشکیل سبد سهام بهینه بستگی به عوامل متعددی دارد که تصمیم‌گیری را برای تحلیل‌گران و کارشناسان فن پیچیده می‌کند. یکی از عوامل این است که انتخاب سبد سهام از دید افراد مختلف متفاوت است. همچنین به لحاظ تغییرات سریع و رو به رشد محیطی این تصمیم‌گیری باید با دقت و سرعت بیشتری انجام گیرد. پژوهش‌ها و مطالعات بسیاری که در حوزۀ تعیین اولویت معیارهای انتخاب سهام و تشکیل سبد سهام بهینه باتوجه‌به معیارهای مختلف انجام گرفته است، نشان از اهمیت این موضوع دارد که چگونه می‌توان با مدیریت صحیح برای تشکیل مطلوب‌ترین سبد سهام اقدام کرد (Tavakoli et al., 2013).

 برای ارزیابی دقیق ریسک در این سبد‌ها باید پویایی روابط بین دارایی‌های مذکور را درک کرد. روش‌های مختلفی برای بررسی قدرت ارتباط در شبکه‌های مالی وجود دارد که یکی از آن‌ها ماتریس‌های همبستگی است. استنتاج دقیق این ماتریس‌های همبستگی از یک مجموعۀ داده با دارایی‌ها و نمونه‌ها به دلایل متعدد چالش‌برانگیز است. ماتریس همبستگی حاوی مقادیر درخور‌توجهی نویز است. به دلیل نبود ثبات در بازارها اغلب پنجره‌ای کوچک از داده‌ها انتخاب می‌شود، جایی که بتوان فرض کرد داده‌ها ثابت هستند. این اغلب منجر به نزدیک‌شدن داده‌ها به هم می‌شود، حتی اگر مقدار زیادی داده وجود داشته باشد. روش‌هایی برای کمک به حذف نویز در این شرایط به کار می‌رود که یکی از آن‌ها درختان پوشا کمینه و دیگری نمودارهای حداکثر فیلترشدۀ مسطح است (Pozzi et al., 2013).

به‌علاوه، بازارهای مالی به‌صورت ساختارهای سلسله‌مراتبی نیز مطالعه شده‌اند. به علت همبستگی میان سهم‌ها در یک صنعت و تفاوت بازدۀ صنایع مختلف، درک ساختار سلسله‌مراتبی ازطریق روش‌هایی مانند برابری ریسک سلسله‌مراتبی یا روش‌های طبقه‌بندی سهام براساس نوع فعالیت می‌تواند در کاهش ریسک سرمایه‌گذاری‌ها و افزایش بازده مؤثر باشد (De Prado, 2016). روش برابری ریسک سلسله‌مراتبی که در پژوهش حاضر استفاده شده است، در زمرۀ این‌گونه پژوهش‌ها قرار می‌گیرد. این پژوهش از ترکیب ساختار سلسله‌مراتبی و درخت پوشای کمینه بهره می‌گیرد که قابلیت انتخاب سهام را دارد و نیز ساختار سلسله‌مراتبی را در خود جای می‌دهد. به‌علاوه، به‌ دلیل نمایش درخت پوشای کمینه، قابلیت تصویرسازی مناسب از مدل و بازار سهام را نیز دارد. دو ماتریس همبستگی متفاوت به نام‌های همبستگی متقاطع کامل و همبستگی کسرشدۀ سراسری به‌عنوان ورودی مدل‌ها استفاده شده است. این راهبرد با دارابودن قابلیت انتخاب از میان سهم‌ها می‌تواند روشی علمی را برای انتخاب دارایی براساس داده‌های تاریخی در بورس تهران با در نظر گرفتن ساختار سلسله‌مراتبی ایجاد کند. این روش با استفاده از مقالۀ چو و سونگ (Cho & Song, 2023) انجام شده است.

 اهداف این پژوهش شامل بررسی کارایی ترکیب دو روش کاهش ریسک، یعنی برابری ریسک سلسله‌مراتبی و انتخاب دارایی‌های حاشیه‌ای، با عملکرد سبد سهام مشتمل بر شرکت‌های حاضر در شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر در بورس تهران است.

در بخش دوم به مبانی پژوهش پرداخته شد. ابتدا مفاهیم استفاده‌شده در پژوهش توضیح داده شد. در ادامۀ بخش، خلاصه‌ای از مطالعات قبلی در زمینۀ موردپژوهش ارائه می‌شود. در بخش سوم، روش پژوهش تشریح و مراحل انجام پژوهش به‌صورت نمودار نمایش داده شده است. در انتهای بخش سوم، معیارهای ارزیابی عملکرد توضیح داده می‌شود. در بخش چهارم، نمونه‌ای از درخت پوشای کمینه و نمودار دندوگرام ماتریس‌های همبستگی نمایش داده می‌شود. در ادامه، نمودارها و جداول ارائه‌شده، سبدهای سهام به‌دست‌آمده از این پژوهش را با شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر از منظر ریسک و بازده و دیگر معیارهای ارزیابی عملکرد که در بخش سوم تشریح شدند، مقایسه شده است. در بخش انتهایی (بخش پنجم)، به نتایج کلی به‌دست‌آمده از پژوهش اشاره می‌شود و دربارۀ پیشنهادها و نوآوری‌های پژوهش بحث می‌شود.

 

مبانی نظری

در دهۀ۱۹۵۰ مارکویتز[1]، پدر نظریۀ مـدرن، سبد نظریۀ خود را ارائـه کرد کـه بیـان می‌کند سرمایه‌گذاران هنگام تصمیم‌گیری درخصـوص کارآمـدترین روش تخصـیص منـابع عقلانی عمـل می‌کنند. اگرچـه نمی‌توانند ریسک سبد را به‌طور کامل حذف کنند، سرمایه‌گذاران وجـوه خـود را میـان تمام اوراق بهاداری که حداکثر بازدۀ موردانتظار را دارد، متنوع‌سازی می‌کنند. این روش موفق شد در جایی که مـردم فقـط بـه میـانگین و واریـانس بـازدۀ سـبد سـهام علاقه‌مند بودند، رویکردی بهینه برای تخصیص منابع در میان اوراق بهادار دارای ریسک ایجاد کند. نظریۀ مدرن سبد، روشی رسمی و درعین‌حال قابل‌قبول برای یافتن سبد‌های بهینه فراهم می‌کند که مرز کارا نامیده می‌شـود کـه بیشـترین بـازدۀ موردانتظار برای سطحی معین از ریسک یا کمترین ریسک را به ازای سطحی معـین از بـازدۀ مـوردانتظـار ارائه می‌کند (Dostjahazdani, 2022).

متنوع‌سازی سبد و عملکرد اوراق بهادار طی بحران مالی اعتباری ۲۰۰۸، نیاز به صنعت مدیریت دارایی برای ایجاد چارچوب‌های نظری جدید با نتایج تجربی قوی را آشکار کرد. مدل‌های جدید مبتنی بر ریسک است؛ بـه ایـن معنـی کـه آنهـا سـعی می‌کنند عوامل ریسک را به‌جای بازدۀ موردانتظار که پیش‌بینی‌پذیر نیست، تخمین بزنند. وزن سبد جدید، بازدۀ موردانتظار را در نظر نمی‌گیرد و فقط به عوامل ریسک خاص مؤثر بر هر ورق بهادار در سبد بستگی دارد.

به دلیل دشواری در تخمین بازدۀ موردانتظار و کوواریانس برای طبقات مختلف دارایی، رویکرد میانگین واریانس دارای اشکالات بسیاری است. به‌منظور برطرف کردن این اشکالات، دپرادو (De Prado, 2016) اولین پژوهشگری بود که مدل سلسله‌مراتبی را برای ساخت سبد پیشنهاد کرد.  این روش برابری ریسک سلسله‌مراتبی[2] از اطلاعات موجود در ماتریس کوواریانس استفاده می‌کند. برابری ریسک سلسله‌مراتبی می‌تواند وزن‌های یک سبد را محاسبه کند و مشکلات الگوریتم خط بحرانی را با استفاده از ریاضیات مدرن نظریۀ گراف و یادگیری ماشین حل کند (De Prado, 2016). باوجود دیدگاه رایج مبنی بر شکست متنوع‌سازی در بحران اعتباری اخیر (بحران سال 2008)، راهبردهای برابـری ریسـک، عملکـرد خوبی در مقایسه با رویکردهای سنتی بهینه‌سازی سبد دارایی از خود نشان دادند (Nourahmadi & Sadeghi, 2022).

بازارهای مالی را می‌توان به‌عنوان سیستم‌های پیچیده‌ای در نظر گرفت که دارای عناصر متقابل زیادی هستند و دارای نوسانات زیادی در ویژگی‌های قابل‌مشاهدۀ مرتبط با خود، مانند قیمت سهام یا شاخص بازار هستند. وضعیت بازار تحت‌تأثیر تعاملات بین اجزای آن است که می‌تواند معامله‌گران یا سهام باشد؛ علاوه‌براین، فعالیت بازار نیز به طور چشمگیری تحت‌تأثیر ورود اطلاعات خارجی است. ویژگی‌های آماری نوسانات قیمت سهام و همبستگی بین حرکات قیمت سهام مختلف به‌منظور درک و مدل‌سازی پویایی بازار مالی تجزیه‌وتحلیل شده است (Pan & Sinha, 2007). برابری ریسک سلسله‌مراتبی نیاز به ساختار سلسله‌مراتبی کامل یک بازار مالی دارد که مانعی برای مدیریت میزان زیادی از سرمایه‌گذاری‌ها است. برای مقابله با این محدودیت، مدل برابری ریسک سلسله‌مراتبی با استفاده از انتخاب دارایی پیشنهاد شده استDe Prado, 2016) ).

پوزی و همکاران (Pozzi et al., 2013) نشان دادند که با تعریف ماتریس‌های همبستگی مناسب، سپس ساخت نمودارهای فیلترشدۀ مالی درخت پوشای کمینه و نمودار مسطح حداکثر فیلترشده، درنهایت ایجاد شاخص‌های مناسب برای انتخاب سبد‌های ساخته‌شده از سهام واقع در مناطق مرکزی یا پیرامونی می‌توان به سبد کارآمد دست یافت. آن‌ها عملکرد سرمایه‌گذاری را با استفاده از طیف وسیعی از معیارها ازجمله نسبت سیگنال به نویز بین میانگین بازده و انحرافات استاندارد آنها، کمّی‌سازی کردند. این معیارها عبارت‌اند از: واریانس سبد، احتمال به ‌دست‌ آوردن بازدۀ بیشتر، احتمال بازدۀ غیرمنفی، و میانگین بازده و نسبت اطلاعات شارپ. همۀ نتایج به طور مداوم نشان داد سبد‌هایی که از مجموعه‌ای از سهام حاشیه‌ای تشکیل می‌شوند، ریسک کمتر و بازدۀ بهتری در مقایسه با سبد‌هایی دارند که از مجموعه‌ای از سهام مرکزی تشکیل می‌شوند. عملکرد ضعیف سبد مرکزی ممکن است نتیجۀ این واقعیت باشد که مرکز شبکه به احتمال زیاد در معرض آشفتگی‌های ناگهانی به دلیل اثر گله‌ای قرار می‌گیرد. در طول دوره‌های رونق و سقوط، سیستم به‌شدت همبسته می‌شود و سرمایه‌گذاران در همان جهت بازار خرید یا فروش اقدام می‌کنند (Pozzi et al., 2013).

ازاین‌رو، سبد‌های حاوی شرکت‌هایی که در مرکز این خلق‌وخوی غیرمنطقی قرار دارند، احتمال بیشتری دارد که ریسک بیشتری را به همراه داشته باشند. یک تنوع کارآمد در صورتی امکان‌پذیر است که سبد دارایی از سهامی تشکیل شده باشد که با همبستگی کم و نسبت سیگنال به نویز بازدۀ موردانتظار بالا مشخص می‌شود. آن‌ها نشان دادند که این اوراق در حاشیۀ نمودارهای فیلترشدۀ مالی قرار دارند (Pozzi et al., 2013). به طور خاص، سبد‌های ساخته‌شده در این پژوهش شامل دارایی‌های انتخاب‌شده از مجموعۀ دارایی‌های حاشیه‌ای[3] در درخت پوشای کمینه مبتنی بر ماتریس ضرایب همبستگی هستند Pozzi et al., 2013)).

 

روش پژوهش

داده‌های این پژوهش ازطریق سابقۀ معاملات سهام در بورس اوراق بهادار تهران در دسترس و قابل‌اتکا است. قلمرو پژوهش بورس اوراق بهادار تهران است و ۵۰ شرکت فعال‌تر بورس اوراق بهادار تهران در آن بررسی می‌شود. بازۀ زمانی این پژوهش از سال ۹۵ تا ابتدای سال ۱۴۰۲ است. مراحل پردازش داده‌ها و اجرای مراحل مدل به ترتیب مشخص‌شده در نرم‌افزار پایتون انجام شد.

ابتدا لگاریتم بازدۀ روزانۀ داده‌های ۶ ماه گذشتۀ ۵۰ شرکت فعال‌تر بورس تهران محاسبه شد. سپس ماتریس کوواریانس و ماتریس ضرایب همبستگی بازده‌ها براساس همان داده‌های لگاریتم بازدۀ روزانه محاسبه شد. در این پژوهش از دو ماتریس همبستگی استفاده شد که یکی از آن‌ها ماتریس همبستگی متقاطع کامل است که در ادامه تعریف شده است. با فرض اینکه قیمت آخرین معاملۀ سهمi ام در زمان t   باشد، بازدۀ لگاریتمی برابر با   می‌شود، با فرض اینکه میانگین حسابی لگاریتم بازده‌ها در بازۀ زمانی t {𝑅𝑖(𝑡 − 𝑇 + 1),…,𝑅𝑖(𝑡)}  برابر با   و انحراف معیار آن برابر با  باشد. برای نرمال‌سازی بازده‌ها از فرمول (1) استفاده می‌شود.

 

 

(1)

 

اگر سری زمانی نرمال‌شده بازده برای n  دارایی به‌صورت ,  باشد که  ضریب همبستگی متقاطع کامل  (FC)به‌صورت فرمول (2) تعریف می‌شود.

 

 

(2)

 یک ماتریس با درایه‌های 1 به طول T  است که بازۀ زمانی تابع بازده است.  ضرب داخلی دو بردار x  و y  است. ماتریس دومی که در این تحقیق استفاده شده است، ماتریس همبستگی با کاستن حرکت سراسری است که در آن توزیع مارچنکو پاستور [4] نمایانگر توزیع مقدار ویژه‌های یک ماتریس تصادفی[5] است. براساس این توزیع مقدار ویژه‌های یک ماتریس تصادفی ازنظر فرضیه دارای حد بالایی است؛ درنتیجه مقدار ویژه‌های ماتریس همبستگی را که بزرگ‌تر از حد بالای این توزیع باشد، می‌توان به‌عنوان اتفاقاتی در نظر گرفت که به‌صورت تصادفی اتفاق نیفتاده‌اند؛ بر این اساس، تابع چگالی احتمال ماتریس متقاطع کامل می‌تواند به‌صورت فرمول (3) نوشته شود (Cho & Song, 2023).

 

 

(3)

 

که در این معادله  و  به ترتیب نشان‌دهندۀ مقدار ویژه و بردار ویژه مرتب‌شده از بزرگ به کوچک  یا ضریب همبستگی است.  نشان‌دهندۀ تعداد مقادیر ویژۀ ماتریس است که از حد بالای توزیع مارچنکو_پاستور تجاوز می‌کند. شایان ذکر است که حد بالا و  در طول زمان (با تغییر بازۀ زمانی )تغییر می‎‌کند. به طور مشخص، جزء اول تساوی شمارۀ (3) یعنی  را می‌توان به‌عنوان حرکت سراسری قلمداد کرد. به‌علاوه می‌توان حرکت سراسری را واکنش کل بازار به اطلاعات بیرونی (واکنش تمامی سهم‌ها به اتفاقات که کل بازار را تحت‌تأثیر قرار می‌دهد) دانست؛ درنهایت اجزای همان ماتریس همبستگی با کاستن حرکت سراسری به‌صورت زیر تعریف می‎‌شود (Cho & Song, 2023).

 

 

(4)

 

ازلحاظ نظری، ماتریس همبستگی با کسر حرکت سراسری بر روابط داخلی بین ریسک‌های خاص دارایی‌ها تمرکز دارد که با حذف ریسک بازار ناشی از اطلاعات خارجی به دست می‎‌آید. رویکرد برابری ریسک سلسله‌مراتبی در انتخاب دارایی حاشیه‌ای با استفاده از درخت پوشای کمینه ماتریس همبستگی را می‌توان به فضای متریک با رابطۀ (5) تبدیل کرد.

 

 

(5)

 

که  اجزای یکی از دو ماتریس همبستگی است. درخت پوشای کمینه براساس فواصل در معادلۀ (5) درختی است که مجموع فواصل بین دارایی‌ها کوچک‌ترین است. توجه داشته باشید که الگوریتم کروسکال برای محاسبۀ درخت پوشای کمینه استفاده می‌شود. جالب توجه است که درخت پوشای کمینه و خوشه‌بندی سلسله‌مراتبی تجمعی با یک پیوند در اتصال میان خوشه‌ها یکتا هستند؛ بنابراین، تخصیص دارایی با رویکرد برابری ریسک سلسله‌مراتبی و انتخاب سهام مبتنی بر درخت پوشای کمینه را می‌توان در یک راهبرد چینش سبد ترکیب کرد. ازآنجایی‌که ماتریس همبستگی متقاطع کامل و ماتریس همبستگی با کاستن حرکت سراسری استفاده‌شده برای ساختن درخت پوشای کمینه در طول زمان تغییر می‎‌کند، راهبرد سبد استفاده‌شده در این پژوهش از ساختار سلسله‌مراتبی بازار مالی در هر بازنگری و وزن‌دهی مجدد سبد سهام استفاده می‌کند (Cho & Song, 2023).

مراحل الگوریتم برابری ریسک سلسله‌مراتبی این‌گونه تعریف می‌شود: مرحلۀ اول خوشه‌بندی درخت است.

این مرحله سرمایه‌گذاری‌ها را در ساختار سلسله‌مراتبی از خوشه‌ها ترکیب می‌کند، به‌طوری‌که تخصیص منابع سرمایه‌گذاری می‌تواند ازطریق نمودار درختی از بالا به پایین جریان پیدا کند. ورودی مدل فقط یک ماتریس  است و فاصله به‌صورت رابطۀ Error! Reference source not found.) تعریف می‌شود.

 

   

(6)

 

که B  حاصل ضرب دکارتی اعضای مجموعۀ  است که فضای متریک D را می‌سازد. سپس باید فاصلۀ اقلیدسی مجموعه را به کمک رابطۀ (7) محاسبه کرد.

 

 

(7)

 

سپس نحوۀ خوشه‌بندی به‌ این صورت است: ابتدا دو ستون  به‌صورت رابطۀ (8) خوشه‌بندی شد.

 

 

(8)

 

سپس  با خوشۀ جدید جایگزین شد تا به N-1  خوشه رسید؛ برای مثال، فکر کنید که چگونه روش طبقه‌بندی شرکت‌ها مانند روش MSCI[6] سهام را در سطوح مختلف (۱۰ بخش، ۲۴ گروه صنعتی، ۶۷ صنعت، ۱۵۶ زیرصنعت) با استفاده از روش‌های سلسله‌مراتبی کمّی و کیفی طبقه‌بندی می‌کند. خوشه‌بندی درختان به همان هدف به روش دقیق ریاضی به دست می‌آید.

 

شکل (1): خوشه‌بندی 10 سرمایه‌گذاری براساس روش برابری ریسک سلسله‌مراتبی

Figure (1) Clustering of 10 investments based on the hierarchical risk parity method

همان‌طور که در Error! Reference source not found. روش خوشه‌بندی به‌درستی مشخص کرده است که سری‌های 9 و 10دارای ارتباط با سری 2 هستند و ازاین‌رو (9،2،10) با هم خوشه‌بندی می‌شوند. به طور مشابه، 7 دارای ارتباط با 1 است، 6 دارای ارتباط با 3 است، و 8 دارای ارتباط با 5 است. تنها مورد اصلی که تناسبی با دیگر سرمایه‌گذاری‌ها برای آن پیدا نشده است، مورد 4 است و موردی است که الگوریتم خوشه‌بندی هیچ شباهتی برای آن پیدا نکرده است. مرحلۀ دوم شبه‌قطری‌سازی است که در این مرحله سطرها و ستون‌های ماتریس کوواریانس را دوباره سازمان‌دهی می‌کند؛ به‌طوری‌که بزرگ‌ترین مقادیر در امتداد قطر قرار می‌گیرد. این شبه‌قطری ماتریس کوواریانس (بدون نیاز به تغییر مبنا) ویژگی مفیدی را ارائه می‌کند: سرمایه‌گذاری‌های مشابه در کنار هم و سرمایه‌گذاری‌های غیرمشابه دور از هم قرار می‌گیرند. این کار با جایگزینی خوشه‌ها با اجزای آنها به‌صورت بازگشتی با حفظ ترتیب خوشه‌بندی انجام می‌شود، تا زمانی که هیچ خوشه‌ای باقی نماند. به دلیل اینکه کوواریانس شبه‌قطری است، واریانس به‌صورت مجموعۀ پیوسته تعریف می‌شود.  که در آن  و  L در آن یک لیست مرتب‌شده از تمام اجزا است،   یک ماتریس کوواریانس از زیرمجموعه‌های  است.

 

 

 (9)

 

که در آن diag[7] مخفف قطری‌سازی و  tr[8]مخفف اثر ماتریس است. این تعریف از  از آنجایی‌ شکل گرفته است که تخصیص دارایی به صورتی که با واریانس رابطه معکوس داشته باشد، برای یک ماتریس قطری بهینه است.

 

شکل (2): مثالی از شبه‌قطری‌سازی ماتریس همبستگی

Figure (2) An example of quasi-diagonalization of the correlation matrix

 

همان‌طور که در شکل (2) مشخص است، این مرحله ماتریس را شبه‌قطری می‌کند؛ به این معنا که بزرگ‌ترین مقادیر در امتداد قطر قرار می‎‌گیرد؛ بااین‌حال، برخلاف تجزیه‌وتحلیل اجزای اصلی[9] یا روش‌های مشابه، برابری ریسک سلسله‌مراتبی نیازی به تغییر مبنا ندارد. برابری ریسک سلسله‌مراتبی مشکل تخصیص را به‌خوبی حل می‌کند؛ درحالی‌که با سرمایه‌گذاری‌های اصلی کار می‌کند. مرحلۀ سوم شامل یک فرایند بخش‌بندی بازگشتی دومرحله‌ای است که در آن، تخصیص بهینۀ واریانس معکوس برای یک ماتریس کوواریانس مورب به کار گرفته می‌شود. در این مرحله، تخصیص بودجه به‌صورت بالا به پایین و بر اساس یک ساختار درختی انجام می‌گیرد؛ به‌گونه‌ای که به خوشه‌هایی با ریسک بالاتر، بودجۀ کمتری اختصاص داده می‌شود. این سازوکار امکان بهره‌گیری مؤثر از مزایای متنوع‌سازی را فراهم می‌کند.. الگوریتم ریاضی این روش به شرح زیر است:

تخصیص وزن واحد به تمام سرمایه‌گذاری‌ها به صورتی که   به‌صورت متناوب لیست  را به دو لیست تقسیم کند،  واریانس ( ) را با شرایط ,j=1,2  محاسبه می‌شود. تقسیم به دو لیست به‌صورت معادلۀ (10) انجام می‌شود.

 

 

 (10)

 

سپس وزن‌دهی مجدد با عامل   به‌صورت معادلۀ (11) انجام می‎‌گیرد.

 

 

 (11)

 

تا جایی متوقف می‌شود که  این الگوریتم از شبه‌قطری‌سازی بالا به پایین و پایین به بالا نیز استفاده می‌کند. برای کاهش تعداد دارایی‌ها در سبد، دارایی‌ها با استفاده از معیار اصلاح‌شدۀ ترکیبی حاشیه‌ای بودن دارایی[10] پیشنهادشده توسط پوزی و همکاران در سال ۲۰۱۳ (Pozzi et al., 2013) انتخاب شد.

تعاریف برخی از متداول‌ترین معیارهای مرکزیت/پیرامونی، یعنی درجه[11] ، مرکزیت بین[12]، خروج از مرکز[13]، نزدیکی[14] و مرکزیت بردار ویژه[15] که برای حاشیه‌ای بودن محاسبه شده‌اند، به شرح زیر است:

مرکزیت بین: مرکزیت بینابینی برای هر رأس تعداد این مسیرهای کوتاه است که از آن رأس عبور می‌کند. مرکزیت بینابینی کاربرد گسترده‌ای در نظریۀ شبکه دارد؛ این مفهوم نشان‌دهندۀ میزان واسط‌بودن گره‌ها نسبت‌به یکدیگر است. درجه: در نظریۀ گراف، درجۀ (ظرفیت) یک رأس در یک گراف تعداد یال‌هایی است که به آن رأس متصل است. نزدیکی: در یک گراف همبند، مرکزیت نزدیکی (نزدیکی) یک گره معیاری از مرکزیت در یک شبکه است که به‌صورت معکوس مجموع طول کوتاه‌ترین مسیرها بین آن گره و تمام گره‌های دیگر در گراف محاسبه می‌شود؛ بنابراین، هرچه یک گره مرکزی‌تر باشد، به سایر گره‌ها نزدیک‌تر است. خروج از مرکز: حداکثر فاصلۀ آن تا هر رأس دیگر است. مرکزیت بردار ویژه: مرکزیت بردار ویژه یک الگوریتم است که تأثیر انتقالی گره‌ها را اندازه‌گیری می‌کند. ارتباطاتی که از گره‌های دارای امتیاز بالا منشأ می‌گیرد، بیشتر از ارتباطات از گره‌های دارای امتیاز پایین به امتیاز یک گره کمک می‌کند. امتیاز بالای بردار ویژه به این معنی است که یک گره به بسیاری از گره‌هایی که خودشان امتیاز بالایی دارند متصل است.

 این معیارها برای گراف وزن‌دار و نیز غیر وزن‌دار محاسبه شده‌اند. به طور خاص، دو شاخص مرکزیت ترکیبی، مقادیر X و Y است که رتبه‌بندی معیارهای محاسبه‌شدۀ قبلی را با هم ترکیب می‌کند. ازنظر این معیارهای ترکیبی، مقادیر کوچک با رئوس مرکزی مرتبط است؛ درحالی‌که مقادیر بزرگ با رأس‌های محیطی مرتبط هستند.

 

 

(12)

 

 

(13)

 

بنابراین، مجموع و تفاوت بین X و Y به‌عنوان معیارهای ترکیبی مرکزی در نظر گرفته شده است. مقدار X + Y برای رئوس مرکزی کوچک و رئوس محیطی بزرگ است. درحالی‌که مقدار X – Y بزرگ است، اگر رأس اتصالات مهم کمی داشته باشد و اگر تعداد زیادی اتصالات بی‌اهمیت داشته باشد، کوچک است.

براساس این معیارها شاخص حاشیه‌ای‌بودن محاسبه می‌شود و سپس از روی این شاخص‌ها رتبه‌بندی دارایی‌های حاشیه‌ای صورت می‎‌گیرد. هدف از محاسبۀ این شاخص‌ها انتخاب سهام حاشیه‌ای‌تر است؛ بنابراین، براساس این شاخص‌ها تعدادی از بیرونی‌ترین دارایی‌های جانبی انتخاب شده است.

آخرین مرحلۀ مدیریت سبد، مقیاس مجدد [16] برابری ریسک سلسله‌مراتبی برای دارایی‌های انتخاب‌شده است. هدف، تولید وزن‌های نهایی است که ویژگی‌های کل سلسله‌مراتب بازار مالی را حفظ کند؛ بنابراین، وزن هر دارایی انتخاب‌شده بر مجموع وزن تمام دارایی‌های انتخاب‌شده تقسیم شده است.

روند توضیح داده‌شده هر شش ماه دوباره انجام می‌شود؛ زیرا ساختار سلسله‌مراتبی بازار و دارایی‌های حاشیه‌ای آن تغییر می‌کند؛ بنابراین، در شش ماه بعدی، چینش سبد سهام براساس داده‌های شش ماه قبل انجام می‌شود. سبدی براساس تعداد دارایی‌ها ( ۵، ۱۰، ۲5، 5۰) و روش انتخاب دارایی‌های حاشیه‌ای باتوجه‌به درخت پوشای کمینه ساخته می‌شود. ورودی این مدل‌ها دو ماتریس همبستگی متفاوت است و عملکرد سبد با شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر مقایسه می‌شود. به‌علاوه، این عملکرد با خود روش برابری ریسک سلسله‌مراتبی بدون انتخاب دارایی و شامل ۵۰ سهم نیز مقایسه می‌شود؛ بدین ترتیب، در طول بازۀ چندساله می‌توان به یک تنوع‌بخشی کارآمد رسید که در آن سهام با هم همبستگی ندارد و در طول زمان نیز این‌گونه باقی می‌ماند؛ به این ترتیب، پژوهشگران می‌توانند از این روش‌ها برای بررسی و بهبود عملکرد سبد‌های خود استفاده کنند و به یک رویکرد منظم و علمی در انتخاب و مدیریت دارایی‌ها دست یابند.

درنهایت، روند کلی ساخت سبدهای برابری ریسک سلسله‌مراتبی برای ورودی دو ماتریس متفاوت با استفاده از انتخاب سهام را می‌توان در شکل (3) خلاصه کرد.

مدل مارکوویتز به‌عنوان مدل رقیب در این پژوهش انتخاب شده است. مدل مارکوویتز با استفاده از حداکثرسازی نسبت شارپ در این پژوهش پیاده‌سازی شده است که در آزمون‌های فرضیه به‌عنوان معیار آزمون شده است (De Prado, 2016). به علت امکان‌نداشتن فروش استقراضی در بورس ایران، وزن سهم‌ها در مدل مارکوویتز پیاده‌ساز‌ی‌شده در پژوهش نامنفی هستند.

 

 

شکل (3): مراحل انجام پژوهش

Figure (3) Research steps

 

در مرحلۀ بعد سبدی براساس تعداد دارایی‌ها (۵، ۱۰، ۲5، 50) و روش انتخاب دارایی‌های حاشیه‌ای باتوجه‌به درخت پوشای کمینه ساخته شد. ورودی این مدل‌ها دو ماتریس همبستگی متفاوت است و عملکرد سبد با شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر مقایسه شد. به‌علاوه، این عملکرد با خود روش برابری ریسک سلسله‌مراتبی بدون انتخاب دارایی و شامل ۵۰ سهم نیز مقایسه می‌شود؛ درنهایت، با استفاده از متدهای ارزیابی عملکرد، این سبدهای سهام با یکدیگر مقایسه شد.

 

یافته‎‌ها

ابتدا اطلاعات قیمت‌های تعدیل‌شدۀ ۵۰ شرکت فعال‌تر در بازۀ زمانی تیر ۹۵ تا دی ماه ۱۴۰2 جمع‌آوری شد. پس از تبدیل داده‌های قیمت به بازده، بازدۀ لگاریتمی و نرمال‌شده محاسبه شد و این بازده‌ها به‌عنوان ورودی برای محاسبۀ ماتریس همبستگی متقاطع کامل استفاده شد. پس از محاسبۀ ماتریس متقاطع کامل، حرکت سراسری از آن کاسته شد تا ماتریس همبستگی با کسر حرکت سراسری به دست آید. ماتریس همبستگی متقاطع کامل و ماتریس همبستگی با کسر حرکت سراسری در شکل (4) و شکل (5) ترسیم شده‌ است.

 

 

شکل (4): ماتریس متقاطع کامل 50 شرکت فعال‌تر بورس ایران در سبد ساخته‌شده در یکی از زیربازه‌های پژوهش(دی ماه 1400 تا تیرماه 1401)

Figure (4). Complete cross-matrix of the 50 most active companies on the Iranian Stock Exchange in the portfolio constructed in one of the research sub-periods

 

 

شکل (4): ماتریس همبستگی با کسر حرکت سراسری 50 شرکت فعال‌تر بورس ایران در بازۀ دی ماه 1400 تا تیرماه 1401

Figure (5) Correlation matrix with the global movement fraction of the 50 most active companies on the Iranian Stock Exchange

مرحلۀ بعدی این پژوهش ترسیم و انجام محاسبات مربوط به درخت پوشای کمینه بود. در این مرحله، ماتریس فاصله براساس همبستگی میان سهم‌ها محاسبه شد و همبستگی به‌عنوان قدرت اتصال یال‌ها در فرمول محاسبه فاصلۀ یال‌ها به کار گرفته شد. درخت پوشای کمینۀ حاصل از این فرایند در شکل (6) رسم شده‌ است.

 

 

شکل (5): درخت پوشای کمینه براساس ورودی ماتریس فاصله

Figure (6) Minimum spanning tree based on distance matrix input

 

پس از ترسیم درخت پوشای کمینۀ سهم‌ها، تعداد دلخواهی از دارایی‌های حاشیه‌ای براساس معیارهای حاشیه‌ای‌بودن انتخاب شدند. در شکل (7) دارایی انتخاب‌شده به رنگ قرمز و پنج دارایی انتخاب‌شدۀ بعدی به رنگ سبز نمایش داده شده‌ است.

 

 

شکل (6): انتخاب دارایی‌های حاشیه‌ای براساس درخت پوشای کمینۀ حاصل از شکل (5

Figure )7( Selection of marginal assets based on the minimum spanning tree obtained from Figure 4

 

در مرحلۀ بعد، سه مرحلۀ الگوریتم برابری ریسک سلسله‌مراتبی شامل خوشه‌بندی سلسله‌مراتبی تجمعی، شبه‌قطری‌سازی و دوبخشی بازگشتی پیاده‌سازی شد. در شکل (8) دندوگرام الگوریتم خوشه‌بندی سلسله‌مراتبی تجمعی ترسیم شده است. در این نمودار می‌توان مشاهده کردکه عموماً سهم‌های یک صنعت به دلیل همبستگی بالاتر با یکدیگر در یک خوشه قرار گرفته‌ است.

 

 

شکل (7): دندوگرام نمایش‌دهندۀ ساختار 50 شرکت فعال‌تر بورس تهران براساس ماتریس همبستگی متقاطع کامل

 

Figure )8( Dendogram showing the structure of the 50 most active companies on the Tehran Stock Exchange based on the full cross-correlation matrix of Figure 2.

 

پس از مرحلۀ اول مرحلۀ شبه‌قطری‌سازی ماتریس انجام می‌گیرد. در انتها حاصل الگوریتم ریسک سلسله‌مراتبی به دست می‌آید که در جدول (1) وزن‌دهی دارایی‌ها براساس روش برابری ریسک سلسله‌مراتبی نشان داده شده است.

 

جدول(۱): وزن‌های الگوریتم برابری ریسک سلسله‌مراتبی برای بازۀ دی ماه 1400 تا تیر 1401

Table )1 ( Hierarchical risk parity algorithm weights

وزن

نماد

وزن

نماد

وزن

نماد

وزن

نماد

۲٫۷۰%

کاما

۲٫۳۷%

وبملت

۱٫۲۶%

تاپیکو

۳٫۳۸%

رمپنا

۲٫۷۰%

ومعادن

۱٫۹۳%

فملی

۱٫۴۵%

خودرو

۲٫۲۱%

شپنا

۲٫۶۴%

خگستر

۲٫۰۳%

همراه

۳٫۵۸%

خساپا

۲٫۲۱%

شیراز

۱٫۲۴%

وبصادر

۳٫۲۸%

وپارس

۱٫۹۳%

فولاد

۱٫۲۴%

وتجارت

۴٫۹۸%

اپال

۱٫۴۵%

خبهمن

۳٫۰۹%

وبانک

۳٫۲۲%

شبریز

۳٫۹۱%

وامید

۳٫۲۸%

حکشتی

۱٫۱۵%

فخوز

۳٫۰۳%

کچاد

۲٫۰۶%

جم

۴٫۹۸%

پاکشو

۱٫۱۵%

شبندر

۱٫۳۱%

پترول

۲٫۰۶%

شخارک

۳٫۰۳%

شفن

۲٫۵۰%

شپدیس

۲٫۲۸%

پارسان

۲٫۰۳%

اخابر

۳٫۱۳%

فخاس

۱٫۲۶%

وغدیر

۱٫۳۱%

نوری

۳٫۰۹%

وصندوق

۲٫۱۶%

بوعلی

۱٫۸۰%

شتران

۳٫۱۳%

سدبیر
           

۲٫۵۰%

شاراک

 

پس از این مرحله، وزن دارایی‌های انتخاب‌شده توسط معیارهای حاشیه‌ای در سبد مستقل خود مقیاس‌بندی مجدد شد.

 

 

جدول(۲): مقیاس‌بندی وزن‌های برابری ریسک سلسله‌مراتبی با دۀ دارایی براساس معیار حاشیه‎‌ای

Table )2( Scaling of hierarchical risk parity weights with ten assets based on the marginal-e criterion

وزن‌های جدید

نماد

 

وزن‌های جدید

نماد

  

۱۱٫۸۶%

حکشتی

۶

۸٫۵۶%

وبملت

۱

۱۸٫۰۲%

پاکشو

۷

۶٫۹۸%

فملی

۲

۱۰٫۹۷%

شفن

۸

۷٫۳۶%

همراه

۳

۱۱٫۳۲%

فخاس

۹

۱۱٫۸۶%

وپارس

۴

۷٫۸۱%

بوعلی

۱۰

۵٫۲۵%

خبهمن

۵

 

در نمودار شکل (9) 7 بازدۀ سبد‌ها با دو ماتریس همبستگی و تعداد دارایی ۵، ۱۰، ۲5 و 50 با انتخاب دارایی براساس درخت پوشای کمینه و وزن‌دهی با روش برابری ریسک سلسله‌مراتبی از تیر ماه سال 1395 تا دی ماه سال 1401 گزارش شده است. این سبدهای سهام با وزن‌دهی روش برابری ریسک سلسله‌مراتبی بدون انتخاب سهام (با ۵۰ شرکت فعال‌تر بورس ایران) و ورودی دو ماتریس همبستگی متفاوت و نیز شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر و رویکرد مارکویتز مقایسه شده‌ است؛ برای مثال FC_HRP 25  وFC_HRP 25  

 

 

شکل (8): نمودار بازدۀ شاخص 50 شرکت فعال‌تر و رویکرد و مقایسۀ آن با راهبرد‌های پیاده‌سازی‌شده در تحقیق

Figure (9) Chart of the return of the 50 most active companies index and its approach and comparison with the strategies implemented in the research

 

به ترتیب نمایانگر سبد سهام ساختهشده با رویکرد ریسک سلسله مراتبی [17] و 25 دارایی انتخاب‌شده و با ورودی ماتریس همبستگی متقاطع کامل [18] و ماتریس همبستگی با کسر حرکت سراسری[19] است.

در جدول (3) عملکرد 8 راهبرد ارائه‌شده در این پژوهش با رویکرد ریسک سلسله‌مراتبی[20] و تعداد دارایی‌های انتخاب‌شده 5، 10، 25 و 50 است و ماتریس همبستگی متقاطع کامل[21] و ماتریس همبستگی با کسر حرکت سراسری[22] نمایش داده شده که در این پژوهش براساس معیارهای ارزیابی بازده و ریسک مقایسه شده‌ است.

جدول(۳): معیارهای عملکرد سبدهای سهام با ورودی‌های ماتریس‌های همبستگی و تعداد دارایی‌های متفاوت در بازۀ تیر 1395 تا دی ماه 1401

Table )3( Performance metrics of stock portfolios with inputs from correlation matrices and the number of different assets in the period

معیار ارزیابی عملکرد

عنوان روش پیشنهادی

k=5

k=10

k=25

تمام شرکت‌ها

شاخص

مارکوویتز

بازدۀ تجمعی

FC-HRP

۲۶۲۵%

۱۹۷۹%

۲۲۶۴%

۲۴۹۷%

۲۰۳۴%

۷۸۷%

GMSC-HRP

۲۰۲۳%

۲۹۶۶%

۲۳۱۵%

۲۵۹۷%

میانگین بازدۀ سالانه

FC-HRP

۷۰٫۸%

۶۳٫۵%

۶۶٫۹%

۶۹٫۵%

۶۳٫۶%

۴۳%

GMSC-HRP

۶۴٫۰%

۷۴٫۱%

۶۷٫۵%

۷۰٫۵%

انحراف معیار بازدۀ روزانه

FC-HRP

۱٫۶۶%

۱٫۳۸%

۱٫۳۱%

۱٫۳۵%

۱٫۴۶%

۱٫۵۸%

GMSC-HRP

۱٫۶۲%

۱٫۵۵%

۱٫۳۹%

۱٫۳۴%

حداکثر کاهش

FC-HRP

۵۲٫۱۶%-

۴۰٫۱۱%-

۴۴٫۷۵%-

۴۴٫۱۷%-

۵۰٫۹۱%-

۶۷٫۳%-

GMSC-HRP

۴۵٫۲۰%-

۴۵٫۵۳%-

۴۳٫۳۹%-

۴۳٫۷۷%-

نسبت شارپ

FC-HRP

۱٫۸۳

۱٫۸۶

۲٫۱۳

۲٫۱۹

۱٫۷۷

۰٫۸۰

GMSC-HRP

۱٫۶۲

۲٫۰۹

۲٫۰۳

۲٫۲۶

 

شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر در این بازه دارای بازدۀ ۲۰۳۴درصدی بوده است. در مقایسۀ راهبرد‌ها از بین ۸ راهبرد فقط ۲ راهبرد GMSC-HRP با پنج دارایی و FC-HRP با ده دارایی از شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر بازدۀ کمتری کسب کرده‌اند. راهبرد GMSC-HRP با ده دارایی و راهبرد FC-HRP با پنج دارایی دارای بیشترین بازده بوده‌اند. این دو راهبرد با بازده‌های ۲۹۶۶ و ۲۶۲۵درصدی به ترتیب به عملکردی بسیار بهتر از شاخص دست یافتند. راهبرد حداقل واریانس نیز دارای بازدۀ بیشتر از شاخص بوده است.

در حالت انتخاب ۵ سهم راهبرد FC-HRP بسیار بهتر از راهبرد GMSC-HRP عمل کرده است. با انتخاب ۱۰ دارایی راهبرد GMSC-HRP بهتر از راهبرد FC-HRP بوده است و هرچه تعداد دارایی بیشتر شده است، همین روند ادامه داشته است؛ بدین معنا که راهبرد‌های GMSC-HRP برای تعداد دارایی بالاتر از ۱۰ عملکردهای بهتری داشته‌ است؛ به همین دلیل برای سرمایه‌گذاران نهادی که توانایی اضافه‌کردن سهم‌های بیشتری به سبدهای سهام خود به‌واسطۀ امکانات بیشتر دارند، استفاده از ماتریس همبستگی GMSC-HRP بهتر است؛ اما برای سرمایه‌گذاران شخصی که سبدهای سهام با تعداد کمتری سهم دارند، راهبرد‌های FC-HRP مناسب‌تر است.

انحراف معیار بازدۀ روزانه تنها در سه حالت، انتخاب پنج دارایی و روش GMSC-HRP با ده دارایی، بیشتر از شاخص پنجاه شرکت فعال‌تر است. این معیار نمایانگر ریسک در بازه‌های روزانه است؛ در نتیجه، ریسک روزانۀ هفت راهبرد به‌کاررفته در این پژوهش از شاخص پنجاه شرکت فعال‌تر کمتر است.

حداکثر کاهش که نمایانگر بزرگ‌ترین فاصله بین یک قله و دره و به‌نوعی نشان‌دهندۀ ریسک سرمایه‌گذاری است، در شاخص افت بالای 50درصدی را نشان می‌دهد. در راهبرد FC-HRP با ده دارایی به ۴۰درصد رسیده است. در این شاخص، تنها راهبرد FC-HRP با پنج دارایی حداکثر افت بیشتری از شاخص داشته است؛ درنتیجه، این سبدهای سهام درمجموع ریسک کمتری در مقایسه با شاخص داشته‌اند، مگر در برخی مواردی که تعداد دارایی‌ها ده یا کمتر بوده است. در این موارد، ریسک سبدهای سهام در مقایسه با شاخص برابر یا بیشتر بوده است.

نسبت شارپ که نمایانگر بازۀ کسب‌شده به‌ازای ریسک است، در تمام راهبرد‌ها به‌جز راهبرد‌هایی با انتخاب پنج سهم، از شاخص بهتر است؛ درنتیجه، این راهبرد‌ها توانسته‌اند به بازده‌های تعدیل‌شده نسبت‌به ریسک بهتر یا مشابه شاخص پنجاه شرکت فعال‌تر دست یابند.

رویکرد مارکوویتز در طول کل بازۀ پژوهش عملکرد ضعیف‌تر از سرمایه‌گذاری در شاخص و رویکردهای استفاده شده در پژوهش داشته است که در معیارهای بازدۀ تجمعی و معیار حداکثر کاهش مشاهده می‌شود.

آزمون ویلکاکسون و آماره‌های آزمون ویلکاکسون در جدول (4) نشان داده شده است. در هریک از این آزمون‌ها نسبت‌های شارپ شش‌ماهۀ یک سبد به‌صورت جفتی با نسبت‌های شارپ شش‌ماهۀ مدل مارکوویتز آزمون شده است.

 

جدول (۴): آماره‌های ویلکاکسون  برای نسبت شارپ

Table )4( Wilcoxon statistics for Sharpe ratio

سبدهای سهام

مقدار p

FC-HRP 5

۰٫۷۸۷

FC-HRP 10

۰٫۵۸۸

FC-HRP 25

۰٫۰۴۰

FC-HRP 50

۰٫۰۴۰

GMSC-HRP 5

۰٫۰۹۴

GMSC-HRP 10

۰٫۰۲۱

GMSC-HRP 25

۰٫۰۴۰

GMSC-HRP 50

۰٫۰۱۳

 

باتوجه‌به سطح معنی‌داری ۱۰درصد، در شش سبد از ۸ سبد فرضیۀ صفر تأیید می‌شود؛ به این معنا که بازدۀ مدل ارائه‌شده در این پژوهش از مدل رقیب مارکوویتز ازلحاظ آماری برتری دارد.

پس از بررسی عملکرد سبدهای سهام در طول زمان، عملکرد سبدهای سهام در بازه‌های مختلف بازار بررسی می‌شود. دورۀ پژوهش به سه قسمت تقسیم می‌شود؛ این سه قسمت نمایانگر دورۀ متعادل بازار[23] و دورۀ صعودی[24] و نزولی[25] بازار است. این بازه‌ها بر مبنای بازدۀ شاخص انتخاب شده‌ است.

 

جدول (۵): دورۀ متعادل بازار از تیر ماه 1395 تا تیرماه 1396

Table (5) Balanced market period

معیار ارزیابی عملکرد

راهبرد

k=5

k=10

k=25

تمام شرکت‌ها

شاخص

مدل مارکوویتز

بازدۀ تجمعی

FC-HRP

۲.۱%

-۱.۷%

۴.۵۴%

۳.۸%

%۴٫۱

%۸٫۳-

GMSC-HRP

۴٫۰۹%

۳٫۳۰%

۲٫۵۵%

۴٫۲۶%

انحراف معیار بازدۀ روزانه

FC-HRP

۰٫۴۸%

۰٫۴۰%

۰٫۴۲%

۰٫۴۱%

%۰٫۳۷

%۰٫۸۹

GMSC-HRP

۰٫۶۶%

۰٫۶۹%

۰٫۴۶%

۰٫۴۲%

حداکثر کاهش

FC-HRP

۵٫۲%-

۹٫۲%-

۸٫۲%-

%۸٫۳-

%۶٫۳-

%۱۲٫۸-

GMSC-HRP

۱۳٫۷%-

۱۱٫۸%-

۱۰٫۳۶%-

۷٫۷%-

نسبت شارپ

FC-HRP

۲٫۶۵-

۳٫۸۵-

۲٫۶۰-

۲٫۸۵-

۳٫۳۱-

۲٫۲۳-

GMSC-HRP

۱٫۷۲-

۱٫۷۲-

۲٫۶۴-

۲٫۶۵-

 

 

جدول (۶): دورۀ بازار صعودی از تیر ماه ۱۳96 تا مرداد ماه ۱۳99

Table (6) Bull market period

معیار ارزیابی عملکرد

راهبرد

k=5

k=10

k=25

تمام شرکت‌ها

شاخص

مدل مارکوویتز

بازدۀ تجمعی

FC-HRP

۴۰۹۳%

۲۶۵۳%

۲۷۴۶%

۲۸۴۴%

۲۵۳۴%

۲۳۶۶%

GMSC-HRP

۲۴۱۲%

۲۸۷۱%

۲۷۴۵%

۲۹۰۰%

انحراف معیار بازده روزانه

FC-HRP

۱٫۹۶%

۱٫۵۶%

۱٫۳۸%

۱٫۴۱%

۱٫۵۱%

۱٫۶۸%

GMSC-HRP

۱٫۷۳%

۱٫۶۱%

۱٫۴۴%

۱٫۴۰%

حداکثر کاهش

FC-HRP

۲4.7%-

۲۰٫۰%-

۲۱٫۰%-

۲۱٫۳%-

۲۱٫۰%-

۱۹٫۷۵%-

GMSC-HRP

۲۶.۲%-

۲۵٫۵%-

۲۳٫۵%-

۱۹٫۷%-

نسبت شارپ

FC-HRP

۷.۴۷

۷٫۴۹

۸٫۵۸

۸٫۶۳

۷٫۴۲

۶٫۵۹

GMSC-HRP

۶٫۴۴

۷٫۵۹

۸٫۲۸

۸٫۸۰

 

جدول(۷): دورۀ نزولی بازار بازۀ تیر ماه 1401 تا دی ماه 1401

Table (7) Market Downtrend Period

معیار ارزیابی عملکرد

راهبرد

k=5

k=10

k=25

تمام شرکت‌ها

شاخص

مدل مارکوویتز

بازدۀ تجمعی

FC-HRP

۳۶٫۳%-

۲۳٫۲%-

۲۰٫۶%-

۱۵.۰%-

۲۲٫۲%-

۶۰٫۸%-

GMSC-HRP

۱۸.۸%-

۰٫۱%-

۱۷٫۲%-

۱۳٫۸%-

انحراف معیار بازدۀ روزانه

FC-HRP

۱٫۴۷%

۱٫۴%

۱.۳۹%

۱٫۴۶%

۱٫۶۳%

۱٫۶۰%

GMSC-HRP

۱٫۷۲%

۱٫۶۹%

۱٫۵۲%

۱٫۴۵%

حداکثر کاهش

FC-HRP

۵۲٫۲%-

۴۰٫۱%-

۴۴٫۸%-

۴۴٫۲%-

۵۰٫۹%-

۶۷٫۳%-

GMSC-HRP

۴۵٫۱%-

۴۵٫۵%-

۴۳٫۴%-

۴۳.۸%-

نسبت شارپ

FC-HRP

۱٫۷۲-

۱٫۵۶-

۱٫۴۵-

۱٫۲۶-

۱٫۲۷-

۲٫۲۱-

GMSC-HRP

۱٫۱۵-

۰٫۸۴-

۱٫۲۵-

۱٫۲۵-

 

دورۀ متعادل بازار در این پژوهش از تیرماه 95 تا تیرماه 96 است. در این دوره، ریسک و بازدۀ سرمایه‌گذاری در شاخص 50 شرکت فعال‌تر پایین بوده است .در این برهه تعادل بازار و نبود بازده‌های مثبت و منفی درخورتوجه، عملکرد راهبرد‌های مبتنی بر برابری ریسک سلسله‌مراتبی و انتخاب دارایی‌های حاشیه‌ای تفاوت چندانی با سرمایه‌گذاری در خود شاخص 50 شرکت ندارد. منفی‌بودن نسبت‌ شارپ در این دوره نمایانگر مناسب‌نبودن بورس برای سرمایه‌گذاری در این برهه است؛ به این معنی که بازدۀ بدون ریسک در این زمان عملکرد بهتری از بازدۀ شاخص 50 شرکت فعال‌تر داشته است. در این بازه رویکرد مارکوویتز بازدۀ منفی کسب کرده است و نتوانسته است عملکردی همچون شاخص یا راهبرد‌های پیاده‌شده کسب کند. به‌علاوه، رویکرد مارکوویتز در این بازه نیز نتوانسته است انحراف معیار روزانه را که یکی از معیارهای ریسک است، کاهش دهد.

دورۀ بازار صعودی در این پژوهش از تیرماه ۹۶ تا مرداد ماه ۹۹ است. در این بازه، سرمایه‌گذاران در بورس اوراق بهادار تهران به بازده‌های خارق‌العاده دست یافتند. 7 راهبرد از 8 راهبرد برابری ریسک سلسله‌مراتبی و انتخاب دارایی بازده بیشتری از شاخص کسب کرده‌ است. بیشتر راهبرد‌ها در کاهش انحراف معیار بازدۀ روزانه نسبت‌به شاخص موفق بوده‌اند و نسبت شارپ بهتری نسبت‌به شاخص کسب کرده‌اند. در معیار حداکثر کاهش، سبدهای سهام دارای ۵ دارایی حداکثر کاهش بیشتری در مقایسه با شاخص داشته‌اند و نسبت شارپ معادل یا ضعیف‌تری در مقایسه با شاخص دارند که این نشان می‌دهد با پنج دارایی این راهبرد‌ها نتوانسته‌ است ریسک سرمایه‌گذاری را کاهش دهد؛ اما عملکرد خوب راهبرد FC-HRP  با ۵ دارایی نشان از برتری راهبرد FC-HRP از GMSC-HRP در سبدهای سهام با ۵ دارایی دارد که این مسئله دربارۀ کل بازۀ پژوهش نیز صدق می‌کند.

رویکرد مارکوویتز در این دوره بازدۀ ضعیفی داشته است و از بازدۀ بازار بازدۀ کمتری کسب کرده است و دارای نسبت شارپ برابر با ۶٫۵۹ بوده است که فقط از یک سبد عملکرد بهتری داشته است.

در این دورۀ رکود که بازدۀ شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر منفی ۲۲درصد بوده است، ۶ راهبرد از ۸ راهبرد بررسی‌شده دارای بازدۀ بهتری از شاخص بوده‌اند و حتی در راهبرد GMSC-HRP با تعداد دارایی ۱۰، بازدۀ حدود صفر نیز حاصل شده است. ازنظر معیار حداکثر کاهش، تمامی راهبرد‌ها به‌جز راهبرد FC-HRP با پنج دارایی بهتر از شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر عمل کرده‌ است.

راهبرد‌های پیاده‌شده در این پژوهش عملکرد بسیار بهتری از رویکرد مارکوویتز در بازۀ نزولی شاخص داشته‌ است. سرمایه‌گذاران با رویکرد مارکوویتز در این بازه به بازدۀ ۶۰٫۸%- می‌رسیدند که عملکرد ضعیفی بوده است و سرمایه‌گذاری در راهبرد‌های رویکرد برابری ریسک سلسله‌مراتبی با درخت پوشای کمینه نتیجۀ بسیار بهتری به همراه داشته است و بازدۀ منفی کمتری کسب شده است. بازدۀ رویکرد مارکوویتز در دو دورۀ متعادل و نزولی بازار ضعیف بوده است که سبب عملکرد کلی ضعیف این مدل در مقایسه با شاخص و راهبرد‌های پیاده‌شده در این پژوهش شده است.

به علت بازدۀ منفی و منفی‌بودن صورت کسر نسبت شارپ نیز منفی است. این نکته نشان می‌دهد که بازدۀ شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر و راهبرد‌ها از نرخ بهرۀ بدون ریسک کمتر بوده و بورس در این باۀه زمانی سرمایه‌گذاری مناسبی نبوده است. استفاده از این راهبرد‌ها در زمان بازار نزولی ثمربخش بوده است.

 

نتایج و پیشنهادها

نتایج به‌دست‌آمده نشان می‌دهد که رویکرد برابری ریسک سلسله‌مراتبی با انتخاب دارایی در بیشتر موارد در مقایسه با سرمایه‌گذاری در شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر عملکرد بهتری داشته است و ازنظر معیارهای ریسکی می‌تواند انحراف معیار را کاهش دهد؛ علاوه‌براین، این رویکرد می‌تواند نسبت‌های ارزیابی بازده به‌ازای ریسک‌ مانند نسبت شارپ را بهبود بخشد. دو ماتریس ورودی مدل ریسک سلسله‌مراتبی بدون انتخاب دارایی، یعنی ماتریس همبستگی متقاطع کامل و ماتریس همبستگی با کسر حرکت سراسری، به‌عنوان ورودی این مدل عملکرد خوبی داشته‌اند. از نوآوری‌های این پژوهش می‌توان به استفاده از ماتریس همبستگی جدید با کسر حرکت سراسری برای وزن‌دهی و همچنین ترکیب دو روش وزن‌دهی و انتخاب دارایی را در بورس ایران اشاره کرد.

شایان ذکر است که در مدل انتخاب دارایی‌های حاشیه‌ای براساس درخت پوشای کمینه، ماتریس همبستگی متقاطع کامل برای تعداد دارایی کمتر، برای مثال ۵ دارایی که ده درصد دارایی‌های شاخص را شامل می‌شود، عملکرد بهتری داشته است؛ اما مدل انتخاب دارایی براساس ماتریس همبستگی با کسر حرکت سراسری در دارایی‌های با تعداد بیشتر موفق‌تر عمل کرده است. باتوجه‌به این نکته که سرمایه‌گذاران شخصی امکانات کمتری از سرمایه‌گذاران نهادی دارند و تمایل آن‌ها به داشتن تعداد دارایی کمتر است، استفاده از ماتریس متقاطع کامل به این سرمایه‌گذاران توصیه می‌شود؛ اما صندوق‌های سرمایه‌گذاران نهادی و صرف وقت و انرژی بیشتر این گروه در راستای کسب بازده و اجتناب بیشتر از ریسک‌ها استفاده از ماتریس همبستگی با کسر حرکت سراسری به سرمایه‌گذاران نهادی توصیه می‎‌شود.

عملکرد راهبرد‌های استفاده‌شده در این پژوهش در زمان تعادل بازار تفاوت چندانی با شاخص ۵۰ شرکت فعال‌تر نداشت؛ اما بیشتر راهبرد‌ها در زمان صعود بازار از تیرماه ۹۶ تا مرداد ۹۹ بازدۀ بیشتری نسبت‌به شاخص کسب کردند. یکی از دستاوردهای مهم این پژوهش، عملکرد خوب رویکرد انتخاب دارایی در بورس تهران در بازار نزولی بعد از مرداد سال ۹۹ است. رویکردهای ریسک سلسله‌مراتبی و انتخاب دارایی با دو ماتریس همبستگی متفاوت توانستند بازدۀ منفی را به‌شدت کاهش دهند.

وزن‌دهی با روش برابری ریسک سلسله‌مراتبی بدون انتخاب دارایی عملکرد سبد پنجاه شرکت را در مقایسه با حالت وزن‌دهی براساس شاخص بهبود داده است. همان‌طور که از مطالعات مارکوویتز نتیجه می‌شود، تنوع‌بخشی با افزودن دارایی‌های بیشتر به سبد سهام ممکن است و هرچه دارایی‌های اضافه‌شده بیشتر و غیرهمبسته‌تر باشد، تنوع‌بخشی کارآمدتری به دست می‌آید؛ اما افزودن دارایی‌ها برای سرمایه‌گذاران به سادگی ممکن نیست؛ زیرا نیازمند صرف زمان برای تحلیل و متحمل‌شدن هزینه‌های بیشتر برای معاملات و وزن‌دهی جدید در سبد سهام است. با استفاده از روش انتخاب دارایی‌های حاشیه‌ای که در این پژوهش برای انتخاب سهام استفاده شده، می‌توان با تعداد دارایی کمتر و ازطریق افزودن دارایی‌های غیرهمبسته به تنوع‌بخشی کارآمد رسید، هزینه‌های معاملاتی را کاهش و کارایی سرمایه‌گذاران نهادی و شخصی را افزایش داد.

ترکیب این روش ریسک سلسله‌مراتبی با دیگر شاخه‌های یادگیری ماشین، مانند یادگیری عمیق، می‌تواند به عملکردهای بهتری منجر شود. مقالاتی که به ترکیب روش ریسک سلسله‌مراتبی با روش‌های دیگر پرداخته‌اند، همانند میله آ و ادلت  (Millea & Edala, 2023) نشان می‌دهد که پژوهشگران می‌توانند با نوآوری‌های جدید به نتایج بهتری دست یابند. یکی از روش‌های نمایش شبکه‌های پیچیده استفاده از درخت پوشای کمینه و نظریۀ گراف است. این نمایش به‌صورت گراف می‌تواند شناخت بهتری از بازار ارائه کند. در این پژوهش از تقسیم‌بندی دارایی‌ها به دارایی‌های حاشیه‌ای و مرکزی استفاده شده است؛ اما پژوهشگران می‌توانند ویژگی‌های دیگری برای یال‌ها و رئوس گراف بازار تعریف کنند تا به شناخت عمیق‌تری از بازار برسند و راهبرد‌های سودآور دیگری نیز پایه‌گذاری کنند.

ورودی این مدل‌ها ماتریس‌های همبستگی است که کاربرد جبر خطی در مالی را نشان می‌دهد. پژوهشگران می‌توانند با استفاده از دانش‌های حوزۀ جبر خطی و شناخت دقیق‌تر از ماتریس همبستگی بازار، ماتریس‌های دیگری معرفی کنند که ورودی بهتری برای مدل باشد. یکی از تلاش‌هایی که در این زمینه شده است، حذف نویزها از ماتریس همبستگی بازار بوده است و مقالاتی در زمینۀ مقایسۀ ماتریس‌های همبستگی بازار و فرضیه‌های آن در جبر خطی وجود دارد.

ترسیم شبکه‌ها براساس فرضیۀ گراف و درخت پوشای کمینه می‌تواند علاوه‌بر بازار سهام در بازارهای اختیار معاملات و آتی نیز استفاده شود. روش برابری ریسک سلسله‌مراتبی می‌تواند برای دارایی‌های دیگری مانند اوراق درآمد ثابت و صندوق‌های طلا در بازار بورس ایران نیز استفاده شود. با‌توجه‌به منفی‌بودن بازدۀ بازار بورس تهران در برخی سال‌ها، این رویکرد می‌تواند ریسک سرمایه‌گذاران را کاهش و گاهی نیز بازده را افزایش دهد.

 

[1] Markowitz

[2] Hierarchical Risk parity (HRP)

[3] Peripheral Assets

[4] Marchenko-Pastur Disturibution

[5] Random Matrix

[6] Morgan Stanley Capital International

[7] Diaganalization

[8] Trace

[9] Principal Component Analysis(PCA)

[10] Modified Hybrid Peripherality Measure

[11] Degree

[12] Betweenness Centrality(BC)

[13] Eccentricity(E)

[14] Closeness(C)

[15] Eigenvector Centrality(EC)

[16] Rebalancing

[17] Hierarchical risk parity (HRP)

[18] Full cross correlation matrix (FC)

[19] Global motion subtracted correlation matrix (GMSC)

[20] Hierarchical risk parity (HRP)

[21] Full cross correlation matrix (FC)

[22] Global motion subtracted correlation matrix (GMSC)

[23] Sidewalk Market

[24] Bull Market

[25] Bear Market

References

Cho, Y., & Song, J. (2023). Hierarchical risk parity using security selection based on peripheral assets of correlation-based minimum spanning trees. Financial Research Letters, 53, 103608.
https://doi.org/10.1016/j.frl.2022.103608
De Prado, M. L. (2016). Building divesified Portfolio that outperform out of sample. The Journal of Portfoilo Management, 42(4), 59-69. https://doi.org/10.3905/jpm.2016.42.4.059
Dostjahzandani, A. (2022). Using Machine Learning in Portfolio Optimization with a Hierarchical Risk Parity Approach [Master’s thesis, University of Damghan]. [In Persian]
Millea, A., & Edalat, A. (2023). Using deep reinforcement learning with hierarchical risk parity for portfolio optimization. International Journal of Financial Studies, 11(1), 10. https://doi.org/10.3390/ijfs11010010
Namaki, A., & Kafimousavi, F. (2023). Stock portfolio optimization using CNN-LSTM algorithms and convolutional neural network. The Fourth Annual Conference of the Iranian Financial Association. Isfahan. [In Persian]
Nourahmadi, M., & Sadeqi, H. (2022). A Machine Learning-Based hierarchical risk parity approach: A case study of Portfolio consisting of stocks of the top 30 companies on the Tehran Stock Exchange. Financial Research Journal, 24(2), 236-256. https://doi.org/10.22059/frj.2021.319092.1007146 [In Persian]
Pan, R., & Sinha, S. (2007). Collective behavior of stock price movements in an emerging market. Physical Review E, 76, 046116. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.76.046116
Pozzi, F., Di Matteo, T., & Aste, T. (2013). Spread of risk across financial markets:better to invest in the peripheries. Scentific Report, 3, 1665. https://doi.org/10.1038/srep01665
Tavakoli, S. (2013). Portfolio Selection Using Graph Theory and a Matrix Approach [Master’s thesis, University of Tehran]. [In Persian]
 
Journal of Asset Management and Financing

Articles in Press, Accepted Manuscript
Available Online from 29 November 2025

Files

Share

How to cite

Statistics