Option Pricing Error: Evidence from Nonlinear Markets based on Probabilistic Neural Networks and Multilayer Perceptron

Document Type : Research Paper

Authors

1 MSc Student, Faculty of Mathematical Sciences, Shahrood University of Technology, Shahrood, Iran

2 Associate Professor, Department of Pure Mathematics, Faculty of Mathematical Sciences, Shahrood University of Technology, Shahrood, Iran

3 Assistant Professor, Department of Management, Faculty of Industrial Engineering and Management, Shahrood University of Technology, Shahrood,

4 Assistant Professor, Department of Mathematical Sciences, University of Guilan, Rasht, Iran

Abstract

This sudy aims to compare the pricing error of Barles-Soner and Bakstein-Howison equation, in the S&P500 index option market. Option pricing equations are solved using Lie algebra. Using the historical data of the S&P500 index from August 18, 2022, to August 18, 2023, the price of this asset has been calculated with each model considered. In the sequel, the obtained data are classified using multilayer Perceptron and Probabilistic neural networks. The networks show which model is closest to the real market. In addition, the prices obtained from Lie algebra have been compared with the actual values of the options in the market. PNN and MLP have been tested with statistical data after August 18, 2023. Two assumed models were priced with the same data and then compared with the real market. In testing the networks, MLP put 60% of the test data and PNN put all the data into the Barels-Soner category. By calculating the difference between the results of the Lie groups and the real data, 80% of the data were less different from the Barrels-Soner model. With the results obtained in S&P option pricing, the Barels-Soner model has less error than other models.
Keywords: Nonlinear Markets, Lie Groups, Neural Networks, Options.
 
Introduction
Options are created to manage risk, control, and prevent loss. In trading, one party's gain means the other party's loss. To eliminate these gains and losses, option pricing must be fair. In other words, the price must be determined so that neither party suffers a loss. In this study, two nonlinear models Barles-Soner (Barles, 1998) and Bakstein-Howison (Bakstein, 2003) were used. By including transaction costs, these two models are closer to market reality than the Black-Scholes model. According to the two models, European option pricing was performed using Lie and symmetric groups. In this method, by order reduction, the partial differential equation is converted into a solvable ordinary differential equation. After evaluating two nonlinear Black-Scholes models, their responses are classified using a Probabilistic neural network (Specht, 1990) and a multilayer Perceptron, and it is predicted that the market is closer to which model.
In the section part, after introducing the two nonlinear Black-Scholes models, the basic concepts, and theoretical foundations of Lie groups, Probabilistic neural networks, and Perceptron are stated. In the second part, the method used in the research is explained. In this section, after finding the exact solutions of the equations of Barles-Soner (1998) and Bakstein-Howison (2003), the European the S&P500 index option is priced. The findings obtained from this pricing are presented in the next section and finally, the results obtained in this research are presented in the last section.
 
Materials and Methods
The pricing of the European option on the S&P500 index has been done using false groups, based on the nonlinear equations of Barles-Soner (1998) and Bakstein-Howison (2003). Next, Perceptron and Probabilistic neural networks were explained. To find the exact solution, Lie and symmetry groups were used. In this method, by order reduction, the partial differential equations are converted into ordinary differential equations. Then, an exact solution of this equation is provided by solving ordinary differential equations. Then by flowing the solutions, other new solutions were found (Dastranj & Hejazi, 2017).
Neural networks consist of three layers. The three main layers of all models are the input layer, hidden layer, and output layer. In some models, the hidden layer is divided into multiple layers. Each layer has several nodes whose number is tested in the hidden layer by trial and error. All nodes in each layer are connected to the next and previous layers. This relationship is established by the weights being multiplied by the previous layer's output, and the result is considered as the input of the current layer. The most important process in a neural network is learning and training the network. The goal of training the network is to accurately determine the weights so that the network output is closer to the true value of the output (Hagan, 1997).
After pricing with the solutions obtained from Lie algebra, we classify the data using neural networks to determine which model is closest to the actual market price.
 
Findings
Table 1 presents the results of market model prediction by comparing Lie Algebra Pricing, PNN, and MLP.
Table 1. Market Model Prediction by Comparing Lie Algebra Pricing, PNN, and MLP




x


t


Market price


Barles-Soner


Error


Bakstein-Howison


Error


Lie algebra


PNN


MLP




4467.71


0.087649


2488.09


2597.26


109.17


2644.69


156.60


0


0


0




4404.33


0.087302


2446.57


2596.79


150.22


2607.17


160.60


0


0


0




4518.44


0.134387


2511.83


2602.91


91.08


2674.72


162.89


0


0


0




4399.77


0.114173


2379.87


2599.80


219.93


2604.47


224.60


0


0


1




4405.71


0.186508


2405


2608.06


203.06


2607.99


202.99


1


0


1




 
In Table 1, x is the S&P500 index and t is the remaining time until the option expires. Using the following equation and for the values of x and t presented in Table 1, pricing was done under the Barles-Soner (1998) model, the result of which is presented in the column related to Barles-Soner (1998).
 
 
In the Bakstein-Howison column, the pricing solutions of the Bakstein-Howison (2003) are described with the following equation.
 
 
Finally, the differences between the solutions under the two mentioned models have been compared with the real market prices, and the results are presented in the column related to Lie algebra. When the Barles-Soner (1998) price is closer to the market price, zero is placed in the table, and if the Bakstein-Howison (2003) price is close to it, one is placed. PNN and MLP columns show the results of Probabilistic neural networks and multilayer Perceptron, respectively. In these two columns, the one in the table indicates that the data is in the Bakstein-Howison (2003) category, and the zero is used to indicate that the data belongs to the Barles-Soner (1998) category.
 
Discussion and Conclusions
First, using Lie and symmetric groups for two nonlinear models, Barles-Soner (1998) and Bakstein-Howison (2003), European option pricing was performed. After pricing the S&P500 index between August 18, 2022, and August 18, 2023, a multi-layer perceptron and probabilistic neural network were trained and the data were classified into two classes, Barles -Soner (1998) and Bakstein-Howison (2003). Then, to find the model closest to the real market, the network is tested with 5 data points. Additionally, the answers obtained from the Lie algebra are evaluated using test data, and their differences from the real data are calculated to determine which answer is closest to the real data. The Perceptron neural network assumes that 3 out of 5 data items belong to the Barles-Soner (1998) model and the Probabilistic neural network places those 5 data items into the Barles-Soner (1998) category. By calculating the difference between the Lie group's response and the actual market price, 4 out of 5 data are close to the Barles-Soner (1998) model. Therefore, according to the results obtained, the S&P500 options market with a maturity of one year and an exercise price of 2,000 USD is close to the Barles-Soner (1998) model.

Keywords

Main Subjects

Full Text

مقدمه

وجود ریسک در بازارها سبب شده است تا مهندسین مالی برای مدیریت و کاهش ریسک ابزارهای مالی جدیدی ایجاد کنند و ابزارهای قبلی را نیز توسعه دهند (Cuthbertson & Nitzsche, 2001). یکی از این ابزارها قراردادهای آتی اختیار معامله است. اختیار معامله، قراردادی است که اختیار انجام معامله‌ خرید یا فروش را به خریدار آن می‌دهد. شرایط این معامله که در آینده انجام می‌شود در زمان حال تعیین می‌شود و از آنجایی که قیمت‌گذاری این قرارداد براساس قیمت دارایی پایه انجام می‌شود به آن ابزار مشتقه نیز می‌گویند. به قیمت توافق شده در هنگام عقد قرارداد برای خرید یا فروش دارایی پایه، قیمت اعمال[1] و به تاریخ تعیین شده برای انجام معامله، تاریخ انقضا[2] گویند (دسترنج و همکاران، 1399؛ Hull et al., 2017).

اختیار معامله به دو دستۀ اختیار خرید و فروش تقسیم می‌شود. خریدار اختیار خرید اختیار آن را دارد که در تاریخ انقضای قرارداد دارایی پایه را به قیمت توافق‌شده بخرد یا نخرد و خریدار اختیار فروش این اختیار را دارد که دارایی پایه را بفروشد یا نفروشد. فروشندۀ اختیار خرید یا فروش اختیاری برای انجام معامله ندارد و متعهد است که تحت هر شرایطی این معامله را بنابه درخواست خریدار انجام دهد. اختیار معامله براساسِ دارایی پایه به اختیار معامله روی سهام، کالا، شاخص و... تقسیم می‌شود. اختیار معامله ازنظرِ اعمال قرارداد مدل‌های مختلفی دارد، مانند اختیار معاملۀ اروپایی، آمریکایی، اسپرد و... . اختیار اروپایی مدلی از اختیار است که خریدار آن تنها می‌تواند در لحظۀ توافق‌شده در آینده معامله را اجرا کند نه زودتر یا دیرتر از زمان مقرر (تهرانی و همکاران، 1399؛ Hull et al., 2017).

معامله‌گری در بازارهای مالی یک بازی مجموع صفر است (Bjork, 2020)؛ یعنی مجموع سود و زیان معامله‌گران برابر است با صفر. در هر معامله کسب سود یک طرف به معنای ضرر طرف مقابل است. اختیار معامله با هدف مدیریت ریسک و برای کنترل و جلوگیری از زیان ایجاد شده است. در معامله برای جلوگیری از زیان نباید فرصت کسب سود به معامله‌گران دیگر داده شود. برای از بین رفتن این سود و زیان‌ها قیمت‌گذاری اختیار باید عادلانه باشد. به‌عبارتی قیمت به‌گونه‌ای تعیین شود که هیچ‌کدام از طرفین معامله ضرر نکنند.

بلک و شولز موفق شدند بازار را با معادلۀ دیفرانسیلی تصادفی مدل‌سازی کنند و با آن به قیمت‌گذاری بپردازند (Black & Scholes, 1973). با ارائۀ مدل بلک‌ـ‌شولز (Black & Scholes, 1973) تحولی در بازار ایجاد شد؛ اما وجود فرض‌هایی برای این مدل باعث شد که پس از مدتی کارایی خود را از دست بدهد. برای رفع ناکارآمدی این مدل، مدل‌های جدیدی ارائه شده است که به واقعیت بازار نزدیک‌تر هستند. مدل‌های بازار را می‌توان به دسته‌های مختلفی تقسیم کرد. بعضی از مدل‌ها با الگوبرداری از مدل بلک‌ـ‌شولز(1973) هزینه‌های معاملاتی را در قیمت‌گذاری لحاظ کردند. برخی دیگر نرخ بهره را ثابت فرض نکردند و مدل‌هایی تلاطم بازار را تصادفی درنظر گرفتند.

در بازارهای مالی معامله‌گران بزرگ با حجم‌های معاملاتی بالا تا حدودی روند و مدل بازار را مشخص می‌کنند. تمام این معامله‌گران از یک مدل استفاده نمی‌کنند؛ بنابراین، در هر دوره بازار به یک مدل شباهت بیشتری دارد. با اهمیت یافتن قیمت‌گذاری اختیار معامله و پیروی بازار از چندین مدل در یک دورۀ زمانی، شبکه‌های عصبی می‌توانند مشخص کنند بازار به کدام یک از این مدل‌های قیمت‌گذاری نزدیک‌تر است.

یکی از قابلیت‌های انسان آموزش دیدن و استفاده از آموزش‌ها در تصمیمات خود است. ازاین‌رو، پژوهش‌گران با پژوهش روی سلول‌های عصبی مغز، اقدام به ساخت ابزاری کردند که با آموزش دیدن و کسب تجربه بتواند در تصمیم‌گیری‌ها به آنها کمک کند و خطا‌های آنها را کاهش دهد. با انجام پژوهش‌ها روی این ایده، سرانجام اولین مدل از شبکه‌های عصبی مصنوعی ایجاد شد که قابلیت آموزش دیدن و یادگیری داشت. از شبکه‌های عصبی در تشخیص دست خط، سرطان، پیش‌بینی برخی پدیده‌ها و... استفاده می‌شود. با پیشرفت علم و افزایش نیاز به کاربردهای مختلفی از شبکه‌های عصبی، مدل‌های جدیدی به وجود آمدند که دقت و سرعت یادگیری بالاتر و کاربردهای متنوع‌تری نسبت‌به مدل‌های اولیه ارائه می‌دهند (Hagan et al., 1997).

در این پژوهش از دو مدل غیرخطی بارلزـ‌سونر (Barles & Soner, 1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (Bakstein & Howison, 2003) استفاده شده است. این دو مدل با احتساب هزینه‌های معاملاتی، نسبت‌به مدل بلک‌ـ‌شولز به واقعیت بازار نزدیک‌تر شده‌اند. تحت دو مدل ذکرشده با کمک گروه‌ها و تقارن‌های لی قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ اروپایی انجام شده است. در این روش با کاهش مرتبه معادلۀ دیفرانسیل با مشتقات جزئی به معادلۀ دیفرانسیل معمولی، که حل‌شدنی است، تبدیل شده است. اختیار معاملۀ اروپایی مدلی از اختیار است که تا لحظۀ سررسید قرارداد نمی‌توان آن را اعمال کرد. بعد از قیمت‌گذاری، با کمک شبکه‌های عصبی به دسته‌بندی داده‌های قیمتی به‌دست‌آمده پرداخته شده است. در این مقاله از شبکه‌های عصبی احتمالی[3] (Specht, 1990) و پرسپترون چند‌لایه[4] برای دسته‌بندی داده‌های قیمتی استفاده شده است. شبکۀ عصبی پرسپترون که یکی از پرکاربردترین شبکه‌های ایجادشده در اواخر دهۀ 1950 است. برای پیش‌بینی، تخمین تابع و دسته‌بندی استفاده می‌شود. این شبکه محدودیت‌هایی داشت که در دهۀ 1980 با ارائۀ شبکۀ پرسپترون چندلایه برطرف شد (Hagan et al., 1997). شبکۀ عصبی احتمالی یک شبکۀ عصبی است که مختص دسته‌بندی داده‌ها است. یکی از مزیت‌های شبکۀ عصبی احتمالی این است که نیاز به آموزش ندارد. این مزیت باعث بالا رفتن سرعت‌عمل شبکه می‌شود. پس از قیمت‌گذاری بازار با دو مدل غیرخطی بلک‌ـ‌شولز جواب‌های آن با شبکه‌های عصبی دسته‌بندی شده است و پیش‌بینی شده که بازار به کدام مدل نزدیک‌تر است.

در ادامه و در بخش اول، بعد از معرفی دو مدل بلک‌ـ‌شولز غیرخطی مفاهیم اولیه و مبانی نظری گروه‌های لی و شبکه‌های عصبی احتمالی و پرسپترون بیان شده است. در بخش دوم، روش به‌کار رفته در پژوهش توضیح داده شده است. در این بخش بعد از پیدا شدن جواب‌های دقیق معادلات بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) اختیار معاملۀ اروپایی شاخص S&P500 قیمت‌گذاری شده است. یافته‌های به‌دست‌آمده از این قیمت‌گذاری در بخش بعد ارائه و درنهایت نتایج به‌دست‌آمده در این پژوهش بیان شده است.

 

مبانی نظری

برای قیمت‌گذاری بازار از دو مدل غیرخطی بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) استفاده شده است‌. بارلز و سونر با پیروی از رویکرد تابع سودمندی هاجز (Hodges, 1989)، که دیویس و همکاران آن را توسعه دادند (Davis et al., 1993)، از یک تابع مطلوب نمایی استفاده و با استفاده از نظریۀ کنترل بهینه تصادفی ثابت کردند (Fleming & Soner, 1993) که وقتی و  به  بروند،  جواب منحصربه‌فرد زیر را دارد.

(1)

 

 

(2)

 

 

که در آن  قیمت دارایی پایه،  نرخ بهرۀ بدون ریسک،  تلاطم بازار،  زمان باقی‌مانده تا سررسید،  زمان سررسید،  و  نشان‌دهندۀ هزینۀ تراکنش رفت و برگشت به‌ازای هر واحد دلار معامله‌شده است و برای مقادیر بزرگ ، . بنابراین،

(3)

 

 

(Ankudinova & Ehrhardt, 2008) و معادلۀ مدل غیرخطی بارلزـ‌سونر(1998) به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

(4)

 

 

معادلۀ مدل باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) با پارامتر نقدینگی  و متغیرهای مشابه معادلۀ بارلزـ‌سونر(1998) به‌صورت زیر است:

(5)

 

 

اهمیت قیمت‌گذاری صحیح اختیار معامله سبب شده است که پژوهش‌های زیادی مانند مهردوست (Mehrdoust et al., 2022) و سامیمیا (Samimia & Mehrdoust, 2022) دراین‌باره انجام شود. در این مقاله از روش‌های گروه‌های لی و شبکه‌های عصبی استفاده شده است. گروه‌ها و تقارن‌های لی یک روش هندسی برای پیدا کردن جواب‌های دقیق معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی هستند. در مقالات نادری‌فرد (Naderifard et al., 2018) و حبیبی (Habibi  et al., 2019) از گروه ها و تقارن‌های لی برای یافتن جواب‌های دقیق و حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده شده است.

از شبکه‌های عصبی برای دسته‌بندی داده‌های به‌دست‌آمده از جواب‌های دقیق تقارن‌های لی استفاده شده است. به‌طور‌کلی، شبکه‌های عصبی از سه لایه تشکیل می‌شوند. سه لایۀ اصلی تمامی مدل‌ها لایۀ ورودی، پنهان و خروجی هستند. لایۀ پنهان در بعضی از مدل‌ها به چند لایه تقسیم می‌شود. هر لایه چند گره دارد که تعداد آنها در لایۀ پنهان با آزمون و خطا بررسی می‌شود. تعداد کم گره‌ها دقت شبکه را پایین می‌آورد و تعداد زیاد آنها زمان یادگیری را بالا می‌برد و هزینه‌های شبکه را افزایش می‌دهد. تمامی گره‌های هر لایه با لایه بعد و قبل خود در ارتباط است. این ارتباط را وزن‌هایی برقرار می‌کنند که در خروجی‌های لایۀ قبل ضرب شده‌اند و حاصل آن ورودی لایۀ فعلی خواهد بود. خروجی هر لایه به‌نسبت وزن‌های ارتباطی بین گره‌های لایۀ فعلی تقسیم می‌شوند.

مهمترین فرآیند در شبکۀ عصبی یادگیری و آموزش شبکه است. هدف از یادگیری شبکه تعیین درست وزن‌ها است، به‌گونه‌ای که خروجی شبکه به‌مقدار واقعی خروجی نزدیک‌تر شود و شبکه به حداقل خطای خروجی برسد (Hagan et al., 1997).

دسته‌بندی داده‌ها یکی از کاربردهای مهم و اصلی شبکه‌های عصبی است. در تان (Tan et al., 2022) به‌دلیل سخت بودن تشخیص خرابی نشت گاز با شبکه‌های عصبی احتمالی به دسته‌بندی خطای حسگر نشت گاز پرداخته شده است. پیش‌بینی دقیق کاهش ظرفیت باتری برای مدیریت سلامت باتری حیاتی است. در چه (Che et al., 2022) با شبکه‌های عصبی روش جدیدی برای بالا بردن دقت پیش‌بینی سلامت باتری پیشنهاد شده است. در این پژوهش علاوه‌بر شبکۀ عصبی احتمالی، شبکه پرسپترون چندلایه نیز استفاده شده است. در طلعتیان آزاد (Talatian et al., 2022) روشی مؤثر برای تشخیص سرطان بیان شده است. در روش معرفی‌شده با شبکۀ عصبی پرسپترون چندلایه، داده‌های پزشکی و اطلاعات مرتبط به سرطان طبقه‌بندی شده است. بعد از پیدا شدن جواب‌های دقیق معادلات بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003)، اختیار معاملۀ اروپایی شاخص S&P500 قیمت‌گذاری شده است. پیش از این در بهنداری (Bhandari et al., 2022) با شبکۀ عصبی LSTM به پیش‌بینی قیمت پایانی شاخص S&P500 پرداخته شده است. در این مقاله نشان داده شده است که شبکۀ عصبی LSTM [5] تک‌لایه پیش‌بینی قوی‌تری نسبت‌به شبکه LSTM چندلایه دارد.

 

روش پژوهش

در این بخش ابتدا با استفاده از گروه‌های لی تحت معادلات غیرخطی بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ اروپایی شاخص S&P500 انجام و جواب‌های دقیق آنها بیان شده است. سپس شبکه‌های عصبی پرسپترون و احتمالی توضیح داده شده‌اند. برای یافتن جواب‌های دقیق قیمت‌گذاری از گروه‌ها و تقارن‌های لی استفاده شده است. در این روش با کاهش مرتبه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل شده است. در ابتدا سیستم معادلۀ دیفرانسیلی از مرتبۀ  با متغیر مستقل ،  و متغیر وابسته ،  به‌صورت زیر فرض شده است:

(6)

 

 

که در آن . تبدیلات بی‌نهایت کوچک لی برای معادلۀ دیفرانسیل فرض‌شده به‌صورت زیر است (Olver & Rosenau, 1987):

(7)

 

 

که سیستم معادلات را به  تغییر نمی‌دهد و مشتقات مرتبۀ اول و دوم آن ب‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

(8)

 

 

که در آن

(9)

 

و

(10)

 

 

مربوط به تبدیل متعارف لی است که در آن  و . نماد  نشان‌دهندۀ مشتق کلی عملگر نسبت‌به  است که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود (Bluman et al., 2010):

(11)

 

 

برای آنکه تبدیلات (7) سیستم معادلات دیفرانسیل مفروض را به  تغییر ندهد، باید رابطۀ زیر برقرار باشد:

(12)

 

که در آن

(13)

 

 

امتدادیافتۀ میدان برداری

(14)

 

 

برای تبدیلات بی‌نهایت کوچک (7) است. نماد  نشان‌دهندۀ مشتق لی  نسبت‌به میدان برداری  است. برای حل معادله با تقارن‌های لی باید پارامترهای معادله کاهش داده شود. برای این کار، پس از پیدا شدن میدان‌های برداری باید ناورداهای[6] آنها حساب شود. برای محاسبۀ ناوردای میدان برداری (14) باید دستگاه مشخصۀ زیر حل شود (Dastranj & Hejazi, 2017):

(15)

 

 

برخی از میدان‌های برداری جواب مطلوبی برای معادلۀ دیفرانسیل پیدا نمی‌کند. به همین دلیل، با شار[7] دادن آن میدان برداری و قرار دادن آن در یکی از جواب‌های مطلوب پیداشده می‌توان جوابی جدید برای معادله پیدا کرد. اگر مولد گروه لی پیدا شود، به‌کمک سری تیلور تابع  می‌توان گروه تبدیلات جدیدی با شار دادن میدان‌های برداری ساخت که به آن گروه تبدیلات تک‌ـ‌پارامتری می‌گویند. این گروه تبدیلات به‌صورت زیر فرض می‌شود:

(16)

 

که در آن

(17)

 

و (Olver, 1993)

(18)

 

 

معادلۀ بارلزـ‌سونر(1998) با متغیر مستقل ،  و متغیر وابستۀ  تبدیلات بی‌نهایت کوچک زیر را دارد.

(19)

 

 

 

(20)

 

 

 

 

(21)

 

و

(22)

 

 

باتوجه‌به آنکه معادلۀ دیفرانسیل (4) از مرتبۀ 2 است، میدان برداری آن نیز تا مرتبۀ دوم امتداد پیدا می‌کند. میدان برداری امتدادیافتۀ تبدیلات (19-21) به‌صورت زیر است:

(23)

 

 

 

که در آن

(24)

 

و

(25)

 

 

 

(26)

 

 

(27)

 

 

(28)

 

 

(29)

 

 

میدان برداری امتدادیافتۀ مرتبۀ دوم معادلۀ (4) برابر است با:

(30)

 

که

(31)

 

 

(32)

 

 

و ، ، ،  و  ثابت‌های دلخواه هستند. با استفاده از رابطۀ (12) مولدهای بی‌نهایت کوچک گروه لی معادلۀ بارلزـ‌سونر (1998) به دست آمده است که برابر است با:

(33)

 

 

 

برای محاسبۀ جواب‌های دقیق معادلۀ قیمت‌گذاری دیفرانسیل بارلزـ‌سونر (1998) با گروه‌های لی باید ناورداهای میدان‌های برداری را، که مولد گروه لی این معادله هستند، محاسبه کرد و پس از جای‌گذاری آنها در معادله تعداد پارامترهای آن را کاهش داد. کاهش پارامتر معمولاً معادلۀ دیفرانسیل با مشتقات جزئی را به معادلۀ دیفرانسیل معمولی تبدیل می‌کند. اگر پس از کاهش پارامتر معادلۀ مفروض به معادلۀ دیفرانسیل معمولی تبدیل نشود، بار دیگر فرآیند کاهش پارامتر اعمال می شود. این روند تا جایی تکرار می‌شود که معادلۀ کاهش‌یافته حل‌شدنی شود.

  1. برای مولد ناوردای تبدیلات عبارتند از  و . با جای‌گذاری ناوردا‌ها در معادلۀ (4) و کاهش پارامتر‌های آن، معادله به‌صورت یک معادلۀ دیفرانسیل معمولی کاهش می‌یابد:

(34)

 

با حل این معادله و بازگرداندن متغیر‌های اصلی، جواب معادله به‌صورت  است که در آن  ضریب انتگرال‌گیری است. مابقی مولد‌های گروه لی جواب مطلوبی ازطریقِ محاسبۀ ناوردا‌ها ارائه نمی‌دهند. اما با استفاده از گروه‌های یک‌پارامتری (شار) می‌توان جواب جدیدی برای (4) پیدا کرد.

  1. گروه یک پارامتری برای مولد به‌صورت  است که

(35)

 

 

(36)

 

 

با جای‌گذاری در ، می‌توان نوشت:

(37)

 

 

میدان برداری امتدادیافته تا مرتبۀ دوم معادلۀ باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) برابر است با:

(38)

 

 

ضرایب میدان برداری فوق با کمک روابط (25-29) برای

(39)

 

 

 

(40)

 

 

به دست آمده است. به‌طور مشابه، با مدل بارلزـ‌سونر (1998) مولدهای گروه لی معادله باکستین‌ـ‌هاویسون(2003)، برابر است با:

(41)

 

 

 

 

پس از کاهش پارامتر‌های معادله (5) جواب‌های دقیق زیر را به دست آمده است:

  1. از مولد ناورداهای ،  و  محاسبه شده است. با جای‌گذاری ناورداها،

(42)

 

 

با حل این معادله و بازگرداندن متغیرهای اصلی، .

با شار دادن مولدها، مولدهای گروه تک‌پارامتری محاسبه شده است. با این گروه جواب جدیدی برای معادلۀ باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) ارائه شده.

  1. گروه یک‌پارامتری برای مولد ، ، عبارت است از:

(43)

 

 

(44)

 

 

با جای‌گذاری این شار در جواب قبلی، جواب جدید زیر به دست آمده است:

(45)

 

 

پس از قیمت‌گذاری اختیار تحت مدل بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003)، با کمک شبکه‌های عصبی بررسی شده است که بازار واقعی به کدام مدل نزدیک‌تر است. برای این کار از شبکۀ عصبی پرسپترون چندلایه (MLP) و احتمالی (PNN) استفاده شده است. شبکۀ عصبی پرسپترون برای طبقه‌بندی و پیش‌بینی داده‌ها استفاده می‌شود. در این شبکه خروجی هر لایه ورودی لایۀ بعد است. این ورودی‌ها در وزن‌های ارتباطی بین گره‌های لایۀ فعلی و لایۀ ماقبل آن ضرب و سپس بین گره‌ها تقسیم می‌شود. حاصل‌ضرب ورودی‌ها در وزن‌ها وارد تابع فعال‌ساز شبکه می‌شود. تابع فعال‌ساز داده‌هایی را که در دامنه‌اش قرار ندارد، از فرآیند آموزش حذف می‌کند و مابقی داده‌های شبکه را آموزش می‌دهد. آموزش شبکه به معنای به‌روز شدن وزن‌های مابین لایه‌ها است. در الگوریتم نظارت‌شده ورودی‌ها با خروجی‌های آنها برای آموزش و به‌روزرسانی وزن‌ها به شبکه ارائه می‌شود. با کمک گرادیان کاهشی تابع خطای خروجی شبکه مینیمم‌سازی و باتوجه‌به وزن‌ها شبکه به‌روزرسانی می‌شود تا خطای شبکه به حداقل برسد (Zhang & Lou, 2021). خروجی‌های لایه‌ها در این شبکه به‌صورت زیر هستند:

 

 

(46)

 

 

 

 

در این رابطه با فرض آنکه ، تعداد گره‌های لایه  و ، تعداد گره‌های لایۀ بعدی است،  خروجی لایۀ ، و  وزن بین لایۀ  و لایۀ ماقبل‌آن است. در این رابطه تابع فعال‌ساز و سوگیری لایۀ  به‌ترتیب با  و  نمایش داده می‌شود (Popescu et al., 2009). در این پژوهش شبکۀ پرسپترون چهارلایه با دو لایۀ پنهان استفاده و تابع فعال‌ساز Elu، که تعمیم‌یافتۀ تابع Relu است، برای هر دو لایۀ پنهان به کار گرفته شده است. این دو لایۀ پنهان به‌ترتیب  و  گره دارد. عملکرد یادگیری این شبکه در شکل (1) نمایش داده شده است. در این شبکه پس از حدود 400 تکرار (انجام فرآیند پس‌انتشار) به‌دلیل ثابت ماندن و کاهش نیافتن خطا فرآیند آموزش شبکه متوقف شده است.

 

شکل (1) عملکرد یادگیری شبکۀ عصبی پرسپترون چندلایه

Figure (1) Learning performance of multilayer Perceptron neural network

 

علاوه‌بر شبکۀ پرسپترون از شبکۀ عصبی احتمالی نیز استفاده شده است. شبکه‌های عصبی احتمالی برای مسائل مرتبط با دسته‌بندی داده‌ها کاربرد دارند. در مدل استاندارد شبکۀ عصبی احتمالی شبکه آموزش داده نمی‌شود و این یکی از مزیت‌های شبکۀ عصبی احتمالی است (Hagan et al., 1997). شبکه‌های عصبی سه لایۀ اصلیِ ورودی، پنهان و خروجی دارند. در این مدل لایۀ اول لایۀ ورودی است که داده‌های جدید را دریافت می‌کند؛ لایۀ دوم از دو لایۀ الگو و تجمیع تشکیل می‌شود. خروجی گره  از لایۀ الگو با رابطه زیر محاسبه می‌شود:

(47)

 

 

در این رابطه  ابعاد بردار الگوی ، که از لایۀ ورودی وارد لایۀ الگو می‌شود، و  انحراف‌معیار تابع توزیع نرمال است. در لایۀ تجمیع به‌کمک رابطۀ (48) فواصل نمایی محاسبه‌شده برای هر نمونۀ  در دستۀ  ام باهم جمع و بر تعداد کل آنها تقسیم می‌شود و یک مقدار جدید تحویل می‌دهد. در لایۀ آخر، تابع انتقال رقابتی حداکثر مقدار احتمال از بردار احتمالی تولیدشده را مشخص می‌کند و دادۀ ورودی را در آن دسته قرار می‌دهد.

(48)

 

 تعداد نمونه‌های آموزشی مربوط به طبقۀ  ام است. در شکل (2) لایه‌های شبکۀ عصبی احتمالی نمایش داده شده است (Mao et al., 2000; Specht, 1990):

 

شکل (2) نمای کلی شبکۀ عصبی احتمالی (Mao et al., 2000)

Figure (2) Overview of the Probabilistic neural network

 

نمونۀ آماری

در این مقاله اختیار معاملۀ S&P500 به روش گروه‌ها و تقارن‌های لی قیمت‌گذاری شده است. قیمت توافقی  دلار و تاریخ انقضا یک‌ساله از  آگوست  تا  آگوست  درنظر گرفته شده است. داده‌های آماری شامل اطلاعات شاخص S&P500 و اختیار معامله‌های این شاخص است که به‌ترتیب از investing.com و barchart.com استخراج شده‌اند. این داده‌ها یک دورۀ 251روزه را شامل شده است‌. برای قیمت‌گذاری از رابطه‌های (37) و (45) استفاده شده است. متغیرهای پژوهش در جدول (1) به‌شرح زیر هستند:

جدول (1) نحوۀ محاسبۀ پارامترهای روابط (37) و (45)

Table (1) How to calculate the parameters of relationships (37) and (45)

پارامتر

نماد پارامتر

مقدار عددی پارامتر

نحوۀ محاسبۀ پارامتر

تلاطم بازار

 

 

تلاطم بازار به روش تلاطم تاریخی حساب شده است.

نرخ بهرۀ بدون ریسک

 

 

نرخ بهرۀ بدون ریسک، میانگین نرخ بهرۀ اعلام‌شده توسط فدرال رزرو آمریکا از جولای  تا جولای  فرض شده است.

هزینه‌های معاملاتی

 

 

هزینه‌های معاملاتی  دلار به‌ازای هر دلار معامله‌شده درنظر گرفته شده است.

 

یافته‌ها

در شکل (3) نتایج قیمت‌گذاری با رابطه‌های (37) و (45) ارائه شده است. معادلۀ (37) با شار دادن معادلۀ  به دست آمده است. چون ، جواب مدل بارلزـ‌سونر (1998) وابستگی بیشتری به زمان دارد و معادلۀ (45)، که با شار دادن معادله  به دست آمده است، وابستگی بیشتری به قیمت دارد که این وابستگی در شکل (4) به‌وضوح دیده می‌شود.

 

شکل (3) قیمت‌گذاری اختیار معامله S&P500 برای ، ، ،  و

Figure (3) S&P500 option pricing for , , , , and

 

شکل (4) مقایسۀ شاخص S&P500 با معادلۀ (45)

Figure (4) Comparing the S&P500 index with equation (45)

 


وزن لایه‌های شبکۀ عصبی با جواب‌های به‌دست‌آمده از دو معادلۀ پیش‌گفته تعیین شده است. در شکل (5) داده‌های آموزشی شبکۀ عصبی آمده است که در دو دسته طبقه‌بندی شده‌اند. داده‌های قرمز جواب‌های معادلۀ بارلزـ‌سونر (1998) و داده‌های آبی جواب‌های معادلۀ باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) هستند. از این شبکه برای پیش‌بینی مدل بازار استفاده شده است. برای این کار چند داده از  آگوست  به بعد انتخاب شده است. در ابتدا این داده‌ها با هر دو مدل بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) قیمت‌گذاری و سپس شبکۀ عصبی با این داده‌ها آزموده که نتیجۀ مقایسۀ آن در جدول (2) ارائه شده است.

 

شکل (5) طبقه‌بندی داده های آموزشی

Figure (5) Classification of training data

 

جدول (2) پیش‌بینی مدل بازار با مقایسۀ قیمت‌گذاری جبرلی، شبکۀ عصبی احتمالی و پرسپترون چند‌لایه

Table (2) Market model prediction by comparing Lie algebra pricing, Probabilistic neural network, and multilayer Perceptron

 

 

قیمت بازار

بارلزـ‌سونر

خطا

باکستین‌ـ‌هاویسون

خطا

جبرلی

PNN

MLP

71/4467

087649/0

09/2488

26/2597

17/109

69/2644

60/156

 

 

 

33/4404

087302/0

57/2446

79/2596

22/150

17/2607

60/160

 

 

 

44/4518

134387/0

83/2511

91/2602

08/91

72/2674

89/162

 

 

 

77/4399

114173/0

87/2379

80/2599

93/219

47/2604

60/224

 

 

1

71/4405

186508/0

2405

06/2608

06/203

99/2607

99/202

 

 

1

 

در جدول (2)،  شاخص S&P500 و  زمان باقی مانده تا سررسید اختیار معامله است. با استفاده از معادلۀ (37) و برای مقادیر  و  ارائه‌شده در جدول (2)، تحت مدل بارلزـ‌سونر (1998) قیمت‌گذاری انجام شده که نتیجۀ آن در ستون مربوط به بارلزـ‌سونر (1998) ارائه شده است. در ستون مربوط به باکستین‌ـ‌هاویسون جواب‌های قیمت‌گذاری تحت مدل باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) شرح داده شده است. درنهایت، اختلاف جواب‌ها تحت دو مدل مذکور با قیمت‌های واقعی بازار مقایسه شده‌اند و نتایج آن در ستون مربوط به جبرلی ارائه شده‌اند. زمانی‌که قیمت بارلزـ‌سونر (1998) به قیمت بازار نزدیک‌تر است، در ستون جبرلی صفر و درصورتِ نزدیک بودن قیمت باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) به آن، عدد یک قرار داده شده است. در ستون‌های PNN و MLP به‌ترتیب نتایج شبکه‌های عصبی احتمالی و پرسپترون چندلایه ذکر شده‌اند. در این دو ستون عدد یک در جدول نشان‌گر این است که داده در دستۀ باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) قرار دارد و عدد صفر برای نشان دادن تعلق داده به دستۀ بارلزـ‌سونر (1998) به کار گرفته شده است.

نتبجه‌گیری و پیشنهادها

ابتدا به‌کمک گروه‌ها و تقارن‌های لی، تحت دو مدل غیرخطی بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون (2003) قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ اروپایی انجام شده است. بعد از قیمت‌گذاری شاخص S&P500 در بازۀ  آگوست  تا  آگوست ، شبکۀ عصبی احتمالی و پرسپترون چندلایه آموزش داده و داده‌ها در دو کلاس بارلزـ‌سونر (1998) و باکستین‌ـ‌هاویسون(2003) دسته‌بندی شده‌اند. سپس برای یافتن نزدیک‌ترین مدل به بازار واقعی، شبکه با  داده آزموده شده است. علاوه‌براین، جواب‌های به‌دست‌آمده از جبرلی با داده‌های آزمون قیمت‌گذاری و اختلاف‌های آنها از داده‌های واقعی محاسبه شده است تا مشخص شود که داده‌های واقعی به کدام جواب نزدیک‌تر هستند. شبکۀ عصبی پرسپترون  داده از  داده را متعلق به مدل بارلزـ‌سونر (1998) دانست و شبکۀ عصبی احتمالی تمامی  داده را در دستۀ بارلزـ‌سونر (1998) قرار داد. در محاسبۀ اختلاف جواب‌های گروه‌های لی با قیمت واقعی بازار،  داده از  داده به مدل بارلزـ‌سونر (1998) نزدیک‌تر بودند. بنابراین، طبق نتایج به‌دست‌آمده، بازار اختیار معاملۀ S&P500 با سررسید یک‌ساله و قیمت توافقی  دلار به مدل بارلزـ‌سونر (1998) نزدیک‌تر بوده است.

 

[1] Exercise Price

[2] Exercise Date

[3] Probabilistic Neural Network

[4] Multilayer Perceptron Neural Network

[5] Long-Short-Term Memory

[6] Invariant

[7] Flow

References

Ankudinova, J., & Ehrhardt, M. (2008). On the numerical solution of nonlinear Black–Scholes equations. Computers & Mathematics with Applications, 56(3), 799-812. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2008.02.005
Bakstein, D., & Howison, S. (2003). A non-arbitrage liquidity model with observable parameters for derivatives. Working Paper, Oxford center for industrial and applied mathematics, Oxford, 1-52.
Barles, G., & Soner, H. M. (1998). Option pricing with transaction costs and a nonlinear Black-Scholes equation. Finance and Stochastics, 2, 369-397. https://doi.org/10.1007/s007800050046
Bhandari, H. N., Rimal, B., Pokhrel, N. R., Rimal, R., Dahal, K. R., & Khatri, R. K. (2022). Predicting stock market index using LSTM. Machine Learning with Applications, 9, 100320. https://doi.org/10.1016/j.mlwa.2022.100320
Björk, T. (2009). Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press.
Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81(3), 637-654. https://doi.org/10.1086/260062
Bluman, G. W., Cheviakov, A. F., & Anco S. C. (2010). Applications of symmetry methods to partial differential equations. Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-68028-6
Che, Y., Zheng, Y., Wu, Y., Sui, X., Bharadwaj, P., Stroe, D. I., Yang, Y., Hu, X., & Teodorescu, R. (2022). Data efficient health prognostic for batteries based on sequential information-driven probabilistic neural network. Applied Energy, 323, 119663. https://doi.org/10.1016/j.apenergy.2022.119663
Cuthbertson, K., & Nitzsche, D. (2001). Financial Engineering: Derivatives and Risk Management. John Wiley & Sons.
Dastranj, E., & Hejazi, S. R. (2017). New solutions for Fokker-Plank equation of‌‌ special stochastic process via Lie point symmetries. Computational Methods for Differential Equations, 5(1), 30-42.
Dastranj, E., SahebiFard, H., Abdolbaghi, A., & Latifi, R. (2020). A comparison between the pricing of capped and power options on the basis of arbitrage prevention: Evidence from a stochastic market with double Stochastic volatility, double jump, and a stochastic intensity measure. Journal of Asset Management and Financing, 8(2), 89-103. https://doi.org/10.22108/amf.2020.119750.1479 [In Persian].
Davis, M. H., Panas, V. G., & Zariphopoulou, T. (1993). European option pricing with transaction costs. SIAM Journal on Control and Optimization, 31(2), 470-493. https://doi.org/10.1137/0331022
Fleming, W. H., & Soner, H. M. (1993). Controlled Markov processes and viscosity solutions. Springer.
Habibi, N., Lashkarian, E., Dastranj, E., & Hejazi, S. R. (2019). Lie symmetry analysis, conservation laws and numerical approximations of time-fractional Fokker–Planck equations for special stochastic process in foreign exchange markets. Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 513, 750-766. https://doi.org/10.1016/j.physa.2018.08.155
Hagan, M. T., Demuth, H. B., & Beale, M. (1997). Neural Network Design. PWS Publishing Co.
Hodges, S. (1989). Optimal replication of contingent claims under transaction costs. The Review of Futures Markets, 8, 222-239.
Hull, J. C., Treepongkaruna, S., Heaney, R., Pitt, D., & Colwell, D. (2017). Fundamentals of Futures and Options Markets. Pearson.
Mao, K. Z., Tan, K. C., & Ser, W. (2000). Probabilistic neural-network structure determination for pattern classification. IEEE Transactions on Neural Networks, 11(4), 1009-1016. https://doi.org/10.1109/72.857781
Mehrdoust, F., Noorani, I., & Fallah, S. (2022). Markov regime-switching Heston model with CIR model framework and pricing VIX and S&P500 American put options. Mathematical Reports, 24(74), 781-806.
Naderifard, A., Dastranj, E., & Hejazi, S. R. (2018). Exact solutions for time-fractional Fokker–Planck–Kolmogorov equation of Geometric Brownian motion via Lie point symmetries. International Journal of Financial Engineering, 5(02), 1850009. https://doi.org/10.1142/S2424786318500093
Olver, P. J., & Rosenau, P. (1987). Group-invariant solutions of differential equations. SIAM Journal on Applied Mathematics, 47(2), 263-278. https://doi.org/10.1137/0147018
Olver, P. J. (1993). Applications of Lie groups to differential equations. Springer Science & Business Media.
Popescu, M. C., Balas, V. E., Perescu-Popescu, L., & Mastorakis, N. (2009). Multilayer perceptron and neural networks. WSEAS Transactions on Circuits and Systems, 8(7), 579-588.
Samimia, O., & Mehrdoust, F. (2022). Vasicek interest rate model under Lévy process and pricing bond option. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 53(1), 529-545 1-17. https://doi.org/10.1080/03610918.2022.2025837
Specht, D. F. (1990).Probabilistic neural networks. Neural Networks, 3(1), 109-118. https://doi.org/10.1016/0893-6080(90)90049-Q
TalatianAzad, S., Ahmadi, G., & Rezaeipanah, A. (2022). An intelligent ensemble classification method based on multi-layer perceptron neural network and evolutionary algorithms for breast cancer diagnosis. Journal of Experimental & Theoretical Artificial Intelligence, 34(6), 949-969. https://doi.org/10.1080/0952813X.2021.1938698
Tan, Q., Mu, X., Fu, M., Yuan, H., Sun, J., Liang, G., & Sun, L. (2022). A new sensor fault diagnosis method for gas leakage monitoring based on the naive Bayes and probabilistic neural network classifier. Measurement, 194, 111037. https://doi.org/10.1016/j.measurement.2022.111037
Tehrani, R., Mirlohi, S. M., & Golkani, M. R. (2020). Calculating real option value under different approaches in the Tehran Stock Exchange. Journal of Asset Management and Financing, 8(2), 1-12. https://doi.org/10.22108/AMF.2019.115211.1372 [In Persian].
Zhang, D., & Lou, S. (2021). The application research of neural network and BP algorithm in stock price pattern classification and prediction. Future Generation Computer Systems, 115, 872-879. https://doi.org/10.1016/j.future.2020.10.009

Files

Share

How to cite

Statistics