مقایسۀ قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ سقف و توانی در جلوگیری از فضای آربیتراژی: شواهدی از شرایط مبتنی‌بر نوسانات تصادفی، دو پرش و اندازه شدت تصادفی

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 استادیار گروه ریاضی محض .دانشکده ریاضی.دانشگاه صنعتی شاهرود.شاهرود.ایران.

2 دانشجوی دکتری. دانشکده ریاضی. دانشگاه صنعتی شاهرود. شاهرود. ایران

3 استادیار گروه مدیریت، دانشکده صنایع و مدیریت ، دانشگاه صنعتی شاهرود.شاهرود.ایران

4 کارشناسی ارشد ریاضی مالی-گروه ریاضی کاربردی -دانشکده علوم ریاضی- دانشگاه صنعتی شاهرود.شاهرود . ایران

10.22108/amf.2020.119750.1479

چکیده

اهداف: در این مقاله سه نوع اختیار معاملۀ توانی مبتنی‌بر بازارهای تصادفی قیمت‌گذاری شده‌اند که در آنها قیمت دارایی پایۀ ریسکی از مدلی با دو تلاطم تصادفی، دو پرش و اندازه شدت تصادفی پیروی می‌کند. اختیار معاملۀ توانی در مقایسه با سایر اختیار معامله‌ها نرخ بازده بیشتری دارد و این بازده، ممکن است فرصت آربیتراژ در بازار ایجاد کند؛ ولی به شیوه‌های مختلفی از ایجاد این فرصت در بازار پیشگیری می‌شود. ازجملۀ این راهها به‌کارگیری سقفی برای بازده اختیار معاملۀ توانی است که در این مطالعه با به‌کارگیری این شیوه بر کنترل سود اختیار معاملۀ توانی سعی شده است. هدف پژوهش حاضر، مقایسۀ بین اختیار توان استاندارد و اختیار سقف، برای بررسی ایجاد فرصت آربیتراژ در بازاری مبتنی‌بر مدل پیشنهادی است.
روش: ابتدا مقایسه با شرایطی فرضی انجام شده است؛ سپس از شاخص کل در جایگاه دارایی پایه و از اطلاعات ده‌سالۀ شاخص بورس (از سال 1388 تا 1397) استفاده و سود این دو نوع اختیار در بورس اوراق بهادار، مقایسه شده است.
نتایج: نتایج مقایسۀ سود اختیار توانی استاندارد و سقف در بورس اوراق بهادار، نشان می‌دهد اختیار سقف، توانایی کنترل سود و جلوگیری از ایجاد فضای آربیتراژی را دارد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

A Comparison between the Pricing of Capped and Power Options on the Basis of Arbitrage Prevention: Evidence from a Stochastic Market with Double Stochastic Volatility, Double Jump, and a Stochastic Intensity Measure

نویسندگان [English]

  • Elham Dastranj 1
  • Hosein Sahebi Fard 2
  • abdolmajid abdolbaghi 3
  • Roghaye Latifi 4
1 Assistant Professor. Department of Pure Mathematics. Faculty of mathematical Sciences.Shahrood university of technology . Shahrood. Iran
2 PhD student.Faculty of mathematical Sciences. Shahrood university of technology . Shahrood. Iran
3 Assistant professor. Department of Management. Faculty of Industrial Engineering & Management. Shahrood university of technology. Shahrood. Iran
4 M.Sc., Department of Applied Mathematics, Faculty of Mathematical Sciences, Shahrood University of Technology, Shahrood, Iran.
چکیده [English]

Objective: In this paper, three types of power options under special stochastic markets have been priced. In the considered market, a risky underlying asset follows a model with two stochastic volatilities, two jumps, and a stochastic intensity measure. Generally, a power option is supposed to generate more income and benefit than other options. There exist, nevertheless, some methods thwarting the opportunities and one of these methods is considering a barrier such as a cap for power option income. The aim of this study is to draw a comparison between the ability of capped and power options in generating arbitrage opportunities.
Method: In this study capped and power options are compared in order to find probable arbitrage opportunities under the considered market. For this purpose, comparisons are made on the basis of a hypothetical condition, applying the Tehran Stock Exchange index as an underlying asset. Then, the profits of these two options extracted from the data of the Tehran Stock Exchange have been compared.
Results: Our findings indicate that between the capped and power options, the former has a higher ability to handicap the profit of arbitrage opportunities.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Power Option
  • Capped option
  • Fast Fourier Transform
  • Stochastic Volatility
  • Stochastic Intensity

مقدمه.

ارزش‌گذاری اختیار معامله یکی از مهم‌ترین موضوعات در مالی است. بی‌شک مدل بلک - شولز[1] (1973) انقلابی در شیوۀ‌ قیمت‌گذاری اختیار معامله به وجود آورد؛ اما این مدل دارای نقص‌هایی نیز بود که مهم‌ترین آنها ثابت انگاشته‌شدن نرخ تلاطم در این مدل بود و این در حالی است که الگوهای تلاطم مشاهده‌شده در قیمت‌های اختیار مبادله‌شده در بازار گواه از تصادفی‌بودن تلاطم دارند.

بعد از بلک - شولز کارشناسان بسیاری برای رهایی از این نقص، مدل‌هایی برای پویایی‌های تلاطم ارائه کردند. از مؤثرترین مدل‌ها، پس از مدل بلک - شولز، مدل هستون[2] (1993) بود که آن نیز به‌دلیل در نظر نگرفتن اتفاقات نادر در بازار، یعنی اتفاقاتی ازقبیل بحران‌های مالی یا رسیدن اطلاعات جدید تأثیرگذار به بازار، نیاز به بازنگری جدی داشت. از آن پس مطالعات گسترده‌ای انجام و مدل‌های بسیار دیگری ارائه شد که از آن بین، مدل بیتس[3] (1996) به مدل واقعی بازار نزدیک‌تر و به‌تبع آن کارآمدتر به نظر می‌رسید. بیتس (1996) برای به ‌دست آوردن مدل‌های واقعی‌تر، اضافه‌کردن پرش به مدل را پیشنهاد کرد. پس از آن مرتون[4] (1976) برای توزیع اندازۀ پرش، فرایند پرش - انتشار را پیشنهاد کردکه درآن لگاریتم اندازۀ پرش به‌طور نرمال توزیع شده بود. هر چند مدل مرتون برای ارزش‌گذاری قیمت، به واقعیت بازار نزدیک‌تر بود؛ ولی باز هم تمام واقعیت توزیع نرخ بازده را نشان نمی‌داد. برای رفع این مشکل کو[5] (2002) فرایند پرش - انتشار دیگری را معرفی کرد که در آن اندازۀ پرش از توزیع نمایی مضاعف پیروی می‌کرد و دیگر مشکل روش مرتون را نداشت؛ زیرا توزیع نمایی مضاعف دم سنگین‌تری دارد و داده‌های پرت بیشتری را می‌پذیرد.

مدل پیشنهادی در این پژوهش که درحقیقت ترکیبی از پرش‌های پواسن، نمایی، دو فرایند تلاطم تصادفی و اندازه شدت تصادفی است، نسبت ‌به مدل هستون (1993) و مدل‌های دیگر، آشفتگی فرایند قیمت در بازار را بیشتر و بهتر تشریح می‌کند؛ بنابراین به‌دلیل نزدیک‌بودن به بازار واقعی کارآمدتر است.

اختیار معاملۀ توانی که در آن بازده، به قیمت دارایی پایه با توانی مشخص وابسته است، برای یک سرمایه‌گذار تیزبین، به‌دلیل داشتن بازده بالاتر به‌ویژه در بازارهایی که تلاطم بالایی دارند، توانمندتر از اختیار معامله‌های دیگر عمل می‌کند (کیم، کیم، مون و وی، 2012). این بازده بالا سبب می‌شود سرمایه‌گذاران به‌دلیل سود بیشتر به این نوع اختیار روی آورند؛ درنتیجه به نوع دیگری از اختیار توانی، به نام اختیار سقف[6]، با اعمال سقفی برای سود، توجه می‌شود.

در این مقاله ابتدا سه نوع اختیار توانی و تابع قیمت‌گذاری مربوط معرفی شده است؛ سپس مدل مدنظر که از ترکیب هستون مضاعف، دو پرش و اندازه شدت تصادفی است، معرفی و تابع مشخصۀ آن مطرح می‌شود. در انتها قیمت‌گذاری دو نوع اختیار توانی مبتنی‌بر مدل معرفی‌شده، در شرایط فرضی و واقعی بازار انجام‌گرفته و با مشخص‌کردن سود و زیان هرکدام، شرایط ایجاد فرصت سودجویی بررسی شده است.

 

مبانی نظری.

اختیار معاملۀ توانی، یکی از انواع اختیارهای نامتعارف است که بازده آن به قیمت دارایی پایه با توانی از m>0 وابسته است. از اختیار توانی در بازارهای دارای تلاطم بالا مانند بازار طلا، استفادۀ بیشتری می‌شود (دسترنج، صاحبی‌فرد، عبدالباقی و حجازی، 2019). این نوع اختیار دارای حالت‌های مختلفی است که در این مقاله سه نوع از آن بررسی شده است.

با قیمت توافقی K و تاریخ سررسید T، ارزش‌گذاری نوع اول اختیار خرید معاملۀ توانی خنثی به‌شکل زیر است و با نام اختیار توانی استاندارد شناخته می‌شود:

 

 

برای ارزش‌گذاری نوع دوم اختیار خرید توانی نوشته می‌شود:

 

 

لیو و چن[7] (2012) با استفاده از تقریب تیلور[8]، فرمولی ضمنی برای اختیار توانی نوع اول و دوم به دست آوردند. ابراهیم، اُهارا و مهدزاکی[9] (2016) ضمن استخراج فرمول قیمت‌گذاری اختیار توانی تحت مدل پرش – انتشار، قیمت این اختیار در مدل بلک - شولز و مدل پرش انتشار را مقایسه کرده‌اند و خاصیت اهرمی اختیار توانی را نشان داده‌اند.

نوع دیگری از اختیار توانی به نام سقف، اختیاری است که در آن سقف سود L در قرارداد مشخص می‌شود و ارزش‌گذاری آن به‌صورت زیر است:

 

 

ارزش‌گذاری انواع اختیار خرید توانی تحت اندازۀ ریسک عبارتند از:

(1)

 

(2)

 

(3)

 

 rنرخ بهره (ثابت) و:

 

 

رابطۀ (1) برای ارزش‌گذاری اختیار خرید معاملۀ توانی استاندارد، رابطۀ (2) برای ارزش‌گذاری نوع دوم اختیار خرید معاملۀ توانی و رابطۀ (3) برای ارزش‌گذاری اختیار سقف استفاده می‌شوند.

لی، یو و لی[10] (2017) فرمول قیمت‌گذاری انواع دیگری از اختیار توانی با نام اختیار توانی چهارگانه را تحت اندازۀ ریسک خنثی اثبات کردند. دسترنج و همکاران (2019) با قیمت‌گذاری اختیار توانی و محاسبۀ سود یا زیان ناشی ‌از این اختیار، ایجاد فضای آربیتراژ در بازار طلا را بررسی کردند و نشان دادند که در بازارهایی با تلاطم بالا، اختیار توانی، فرصت سودجویی ایجاد می‌کند.

با قراردادن t = 0، Xt= ln St و K= ln K رابطۀ زیر به دست می‌آید که در آنها qT(Xt) تابع چگالی فرایند تصادفی Xt است:

(4)

 

(5)

 

 

کار و مادان[11] (1999) تابع قیمت اختیار خرید را به‌صورت زیر اصلاح کردند:

 

گیل پلاز[12] در سال 1951 با معرفی قضیه‌ای، حالتی دیگر از معکوس تبدیل فوریه را مطرح کرد و کار و مادان (1999) با استفاده از معکوس تبدیل فوریه، با روشی جدید به نام تبدیل فوریۀ سریع[13]، اختیار معاملات اروپایی تحت مدل هستون را قیمت‌گذاری کردند. روش آنها به‌دلیل سرعت و دقت بالا، به‌سرعت به یکی از راهکارهای محبوب و مفید برای قیمت‌گذاری مشتقات تبدیل شد. روش تبدیل فوریۀ سریع نیازمند مشخص‌کردن تابع مشخصۀ مدل‌های قیمت‌گذاری است که توابع اکثر مدل‌ها دردسترس است.

تبدیل فوریۀ روی C(T,K) به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

(7)

 

 

معکوس تبدیل فوریۀ تابع  نیز به‌صورت زیر است:

(8)

 

 

با توجه به رابطۀ (6) نوشته می‌شود:

(9)

 

 

بنابراین، قیمت اصلاح‌شدۀ اختیار خرید توانی برای هر دو نوع، با استفاده از تبدیل فوریه سریع به‌شکل زیر است که در آن پارامتر  به N وابسته و مقدار N توانی از دو است:

(10)

 

همچنین، رابطۀ زیر را داریم:

 

 

گنزالز[14] (2014) قیمت‌گذاری اختیار اروپایی را تحت چند مدل مختلف از انواع مدل هستون، با استفاده از تبدیل فوریۀ سریع، تبدیل فوریۀ سریع کسری و روش مونت کارلو[15] مشخص و دقت و سرعت روش‌ها را با هم مقایسه کرده است. مهردوست و صابر (2014)، اختیار معامله را طبق مدل هستون مضاعف با پرش با استفاده از تبدیل فوریۀ سریع، قیمت‌گذاری و با روش انتگرال‌گیری گاوس - لژاندر[16]، دقت این روش را مشخص کردند. دسترنج و لطیفی (2017) نیز با استفاده از تبدیل فوریه، قیمت‌گذاری اختیار معامله را تحت مدل هستون مضاعف با دو پرش انجام و با روش شبیه‌سازی مونت کارلو، دقت این روش را نشان داده‌اند.

 

روش‌‌ پژوهش.

برای استفاده از روش تبدیل فوریۀ سریع، لازم است ابتدا تابع  مربوط‌ به اختیار و تابع مشخصۀ مدل تحت بررسی معین شود.

نخست، با جای‌گذاری رابطۀ (4) در (6) و رابطۀ (6) در (7) برای نوع اول اختیارمعاملۀ توانی داریم:

 

 

 

(11)

 
     

 

به این ترتیب رابطۀ زیر برای نوع دوم اختیار معاملۀ توانی با جا‌ی‌گذاری رابطۀ (5) در(6) و رابطۀ (6) در (7) به دست می‌آید:

 

(12)

 

 

برای اختیار خرید سقف داریم:

 

(13)

 

 

که  ارزش اختیار توانی نوع اول و  است.

در روابط فوق   تابع مشخصۀ Xt تحت اندازۀ ریسک خنثی است.

مدل مدنظر در این پژوهش، از افزودن دو فرایند پرش و اندازه شدت تصادفی، به مدل هستون مضاعف به دست می‌آید. فرض کنید (Ω, F, P) فضای احتمال، {Ft}t فیلتر تولیدشده توسط فرایند‌ براونی و فرایند پرش در زمان t،  و Q اندازۀ احتمال ریسک خنثی باشد؛ همچنین فرض کنید فرایند قیمت دارایی پایۀ St در لحظۀ t از مدل زیر تبعیت کند:

(14)

 

(15)

 

(16)

 

(17)

 

که در آن r نرخ بهرۀ بدون ریسک، پارامترهای  و  میانگین بلندمدت تلاطم،  و  سرعت بازگشت به میانگین تلاطم،  و  واریانس‌های فرایندهای تلاطم،  فرایند پواسن ناهمگن با فرایند اندازه شدت  است؛  سرعت بازگشت به میانگین فرایند اندازه شدت،  میانگین بلند‌‌مدت فرایند اندازه شدت،  واریانس فرایند اندازه شدت،  و  فرایندهای تصادفی نمایی با پارامترهای  و  و ،  دارای توزیع لگ – نرمال با میانگین ،  و واریانس  که در آن

 

 

،  و ،  فرایندهای براونی تحت Q به ‌ترتیب با ضریب همبستگی‌های  و  هستند که مقادیری ثابتند و فرایند براونی  مستقل از فرایندهای براونی فوق است. در ادامه با استفاده از دافی[17]، پن[18] و سینگلتون[19]، گاترال[20] (2011) و زو[21] (2009) تابع مشخصه تعیین خواهد شد.

قضیه: تابع مشخصۀ مدل معرفی‌شده تحت اندازۀ ریسک خنثی به‌صورت زیر است:

(18)

 

که

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

و در روابط فوق برای

 

 

 

 

,

 

 

 

اثبات: فرایندهای قیمت دارایی پایه، تلاطم و فرایند اندازه شدت از مدل ذکرشده به شرح زیر است:

,

 

 

 

 

 

 

 

 

که در آن

 

 

تابع مشخصۀ فرایند دارایی پایه یا ( ) برابر است با:

 

با جای‌گذاری معادلات (5) و (6) در رابطۀ فوق داریم:

 

 

بنابراین

 

 

وقتی

 

 

 

 

 

 

 

با استفاده از قضیۀ فیمن - کاک[22] (زو، 2009):

 

 

 

 

بنابراین، تابع مشخصه به‌صورت زیر خواهد بود:

 

 

که در آن

 

 

 

 

 

 

 

و در روابط فوق برای :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

نشان داده می‌شود:

 

 

 

 

 

 

 

 

که

 

 

 

 

 

 

 

 

همچنین، نشان داده می‌شود:

 

 

که  برای :

 

 

 

 

 

بار دیگر با استفاده از قضیۀ فیمن – کاک:

 

 

که در رابطۀ فوق

 

 

 

 

 

 

 

 

بنابراین، تابع مشخصه به صورت زیر به دست می‌آید:

 

 

در این مطالعه قیمت‌گذاری اختیار توانی استاندارد و سقف، ابتدا در شرایطی فرضی و در حالت‌های مختلفی از قیمت واقعی دارایی پایه، انجام و با هم مقایسه شده ا‌ند؛ سپس با استفاده از شاخص کل بورس تهران، این قیمت‌گذاری و مقایسه در شرایط واقعی بازار بررسی شده است. در شرایط فرضی، به پارامترهای مدل، مقادیر فرضی نسبت داده شد. قیمت‌گذاری با چند حالت از قیمت توافقی انجام و سود یا زیان هر اختیار با توجه به اعمال‌شدن یا اعمال‌نشدن اختیار، محاسبه شد. در بازار واقعی از شاخص کل بازار در جایگاه دارایی پایه استفاده شد. دارندۀ این اختیار، به‌طور غیرمستقیم، اختیاری از تمام بازار را در سبد خود دارد (صاحبی‌فرد، 1398). بدین منظور مقدار شاخص کل بازار طی10 سال، از ابتدای سال 1388 تا انتهای سال 1397، استخراج شد. فرض بر این بود که ابتدای شهریور سال 1397 لحظۀ حال و هدف، قیمت‌گذاری اختیار توان استاندارد و سقف، با سررسید سه‌ماهه، شش‌ماهه و یک‌ساله باشد. با دو حالت مختلف از قیمت توافقی قیمت‌گذاری انجام و سود و زیان هر دو اختیار مشخص شد. قیمت‌های توافقی از ارزش آتی قیمت لحظۀ حال با نرخ رشد برابر با بازده بدون ریسک و بازده ماهانۀ دارایی پایه حاصل شده است.

 

یافته‌ها

برای روش تبدیل فوریۀ سریع  و  در نظر گرفته شده‌اند. پارامترهای مدل ذکرشده به‌صورت زیر فرض شده‌اند (مهردوست و صابر، 2014):

0/9, 0/1, 0/1, 0/6, 1/2, 0/15, 0/2, 0/7, -0/5, -0/5, 0/7, 0/3,  0/4, 0/1, 0/1

0/22, 0/25, -0/4, 0/05, 0/07,

 

در بخش اول اختیار خرید توانی با توان دو و اختیار سقف با سقف سود 15 در نظر گرفته شده است. در شکل 1 تغییرات این دو اختیار با تغییر سررسید تا یک سال و قیمت توافقی مشخص شده است. همان‌طور که مشاهده می‌شود در اختیار توانی استاندارد قیمت اختیار حداکثر تا مقدار 30 افزایش یافته است؛ اما در اختیار سقف، ارزش اختیار از مقدار سقف بالاتر نشده است.

اگر مقدار واقعی دارایی پایه در سررسید از قیمت توافقی کمتر باشد، اختیار خرید اعمال نمی‌شود. در این حالت ارزش اختیار به‌طور کامل برای دارندۀ آن زیان و برای فروشندۀ اختیار سود است. با در نظر گرفتن این شرایط، اختیار توان استاندارد نسبت ‌به اختیار سقف برای دارندۀ اختیار زیان بیشتری و برای فروشندۀ اختیار سود بیشتری ایجاد خواهد کرد. این سود در سررسیدهای بلندمدت سود آربیتراژی است.

در صورتی که قیمت واقعی دارایی پایه در سررسید از قیمت توافقی بیشتر باشد، اختیار اعمال می‌شود و سود اختیار از تفاضل قیمت توافقی و قیمت آتی اختیار از قیمت واقعی دارایی به دست می‌آید. نکتۀ جالب توجه این است که چون قیمت اختیار سقف از قیمت اختیار توان استاندارد کمتر است، اگر اختلاف قیمت توافقی و قیمت واقعی در سررسید زیاد باشد، دارندۀ آن اختیار سقف سود آربیتراژی دارد. در جدول 1 سود و زیان هر دو اختیار با سررسید یک‌ساله و قیمت توافقی معین آورده شده است. در این جدول برای قیمت واقعی دارایی پایه چند حالت متفاوت فرضی لحاظ شده است.

 

 

 

 

 

 

 

 

جدول(1) مقایسۀ سود و زیان اختیار خرید توانی نوع اول و سقف با توان دو

قیمت توافقی

قیمت واقعی(فرضی)

ارزش اختیار توان استاندارد

سود (زیان) اختیار توان استاندارد

ارزش اختیار توان سقف

سود (زیان) اختیار توان سقف

120

110

4859/7

8697/7-

6044/2

7379/2-

120

130

4859/7

1302/2

6044/2

2620/7

120

150

4859/7

1302/22

6044/2

2620/27

130

120

5360/18

4863/19-

2616/6

5826/6-

130

150

5360/18

5136/0

2616/6

4173/13

130

160

5360/18

5136/10

2616/6

4173/23

 

 

شکل (1) تغییرات قیمت اختیار توانی استاندارد و اختیار سقف با توان دو

 


در شکل 2 اختیار توانی با توان سه و اختیار سقف با سقف 20 با تغییر قیمت توافقی و سررسید تا دو سال در نظر گرفته شده است. در حالت اختیار توانی استاندارد ارزش اختیار تا 40 و ارزش اختیار سقف تا 15 تغییر یافته است. عایدی ناشی ‌از اختیار توانی استاندارد زمانی که قیمت واقعی از قیمت توافقی بیشتر باشد، مقداری منفی شده است. درواقع، در این حالت اختیار توانی استاندارد از ایجاد فرصت آربیتراژ به روش‌های مختلف جلوگیری کرده است. مانند بخش قبل، زمانی که قیمت واقعی دارایی پایه از قیمت توافقی خیلی بیشتر باشد اختیار توانی استاندارد نسبت‌ به اختیار سقف، سود آربیتراژی کمتری ایجاد خواهد کرد. در جدول 2 سود و زیان بین دو نوع اختیار با سررسید دوساله و قیمت واقعی فرضی مقایسه شده‌اند.



جدول(2)مقایسۀ سود و زیان اختیار خرید توانی نوع اول و سقف با توان دو

قیمت توافقی

قیمت واقعی(فرضی)

ارزش اختیار توان استاندارد

سود (زیان) اختیار توان استاندارد

ارزش اختیار توان سقف

سود (زیان) اختیار توان سقف

120

110

1537/9

1537/9-

7042/1

7042/1-

120

130

1537/9

3769/0

7042/1

20842/8

120

150

1537/9

3769/20

7042/1

20842/28

130

120

856/34

856/34-

4893/6

4893/6-

130

150

856/34

6431/16-

4893/6

1779/13

130

160

856/34

6431/6-

4893/6

1779/23

 

 

شکل (2) تغییرات قیمت اختیار توانی استاندارد و اختیار سقف با توان سه

 


در ادامه نتایج قیمت‌گذاری این دو اختیار بر شاخص کل بورس اوراق بهادار مشخص شده است. مقدار شاخص کل در ابتدای شهریور سال 1397 برابر 4/136343 بوده که برای ساده‌شدن محاسبات، تمامی قیمت‌ها به  تقسیم شده است. استفاده از مدل ذکر‌شده نیازمند برآورد پارامترهای موجود در مدل است. وانگ (2018) با استفاده از اینکه تلاطم دارای توزیع گاوسی است، تلاطم کل بازه را تجزیه و با روش حداکثر درست‌نمایی[23] الگوریتمی برای برآورد پارامترهای مدل هستون ارائه کرده است. بدین منظور ابتدا شرط‌های زیر برای پارامتر‌های مدل هستون در نظر گرفته می‌شود:

۱- مقدار اولیۀ  همیشه مثبت است.

۲- نرخ بازگشت به میانگین  ، میانگین بلندمدت  و نوسانات واریانس  همگی مقادیر مثبت هستند.

۳-  که شرط فلر[24] شناخته می‌شود.

قضیه: برآورد پارامتر‌های ،  و  به‌صورت زیر است:

(19)

 

 

(20)

 

 

(21)

 

 

که  و

(22)

 

 

در این پژوهش مقدار شاخص کل در بازۀ زمانی ابتدای مرداد سال 1388 تا ابتدای شهریور سال 1397، استخراج شده است. داده‌های بازۀ بررسی‌شده به دوره‌های سه‌ماهه تقسیم و در هر دوره تلاطم محاسبه شده است. این دسته‌ها به دو بخش تقسیم و هرکدام یکی از دو فرایند نوسان در نظر گرفته شده است. در رابطۀ فوق  تلاطم هر دوره است. برای تخمین ضریب همبستگی  داریم:

(23)

 

 

(24)

 

 

و  برای ، برای اثبات به وانگ (2018) مراجعه شود.

در رابطۀ فوق علاوه‌بر تلاطم، قیمت هر دوره استفاده و قیمت آخرین روز هر دوره،  انتخاب شده است. در رابطه برای اندازه‌گیری پرش، روند حرکت دارایی پایه مشاهده و تعداد پرش‌های ناگهانی قیمت مشخص شده است؛ سپس این پرش‌ها نیز به‌صورت جداگانه فرایند تصادفی دیگری در نظر گرفته و پارامترهای آن برآورد شده است. این بخش به متن مقاله اضافه شد. نتیجۀ برآورد پارامترها به‌شکل زیر است:

0/7735 , 7/3363, 3/3381, 5/7635, 20/6, 1/9647, 5/3251, 12/90, 0/02, 0/191, 10/8718, 3/7037,

 2/4468,  3, 3/1111, 3/27, 0/4, 1/1487, 2/5771,

 

مقدار میانگین بازده لگاریتمی که لگاریتم، حاصل تقسیم قیمت روز بر روز گذشته است، در این بازۀ 03/0 محاسبه شده است. در سود، اختیار توانی استاندارد و اختیار سقف در سررسیدهای مختلف و دو حالت مختلف از قیمت توافقی، محاسبه و نتایج در جدول 3 مشخص شده است.


جدول(3) مقایسۀ قیمت اختیار خرید توانی نوع اول و سقف با توان دو

سررسید

سود اختیار توانی استاندارد با قیمت توافقی 200

سود اختیار سقف با قیمت توافقی 200 و سقف سود 5

سود اختیار توانی استاندارد با قیمت توافقی 400

سود اختیار سقف با قیمت توافقی 400 و سقف سود 10

سه‌ماهه

019/41

96/2

104/18

335/7

شش‌ماهه

21/15

167/4

2189/39

454/3

یک‌ساله

2169/27-

259/5-

7498/20

767/6

 


قیمت واقعی دارایی (شاخص کل) در سررسید سه‌ماهه برابر 2529/171، در سررسید شش‌ماهه برابر 4895/159 و در سررسید یک‌ساله برابر 9861/269 بوده است. در حالتی که قیمت توافقی 200 در نظر گرفته شده است، برای سررسیدهای سه‌ماهه و شش‌ماهه سود اختیار توانی سقف دارای محدودیت (سقف سود 5) بوده است که مانع افزایش سود دارندۀ اختیار می‌شود؛ اما اختیار توانی استاندارد که این محدودیت را ندارد حتی در سررسید سه‌ماهه نیز سود بسیاری برای دارنده به وجود آورده است. در سررسید یک‌ساله، قیمت توافقی از قیمت واقعی دارایی پایه کمتر است. در این حالت دارندۀ اختیار، اختیار را اعمال نمی‌کند و تمام ارزش اختیار، زیان دارنده است. در این حالت نیز اختیار توانی استاندارد زیان بیشتر برای دارنده و سود بیشتر برای فروشندۀ اختیار ایجاد کرده است؛ یعنی اختیار توانی استاندارد هم سود و هم زیان آربیتراژی ایجاد کرده است. در حالتی دیگر، قیمت توافقی برابر 400 در نظر گرفته شده است که در سررسید یک‌ساله نیز اختیار اعمال شود. همان‌طور که در جدول 3 مشاهده می‌شود، در این حالت نیز دارندۀ اختیار توانی استاندارد، سود بیشتری نسبت ‌به اختیار سقف کسب می‌کند؛ هرچند بخشی از این سود جزئی از خاصیت اختیار معامله است؛ اما در بازار، فضای سودجویی و آربیتراژی ایجاد می‌کند؛ ولی سود اختیار سقف نسبت ‌به سود اختیار توانی کمتر شده و از ایجاد این فضای سودجویی، جلوگیری کرده است.

 

نتایج و پیشنهادها.

در این مقاله ابتدا مدلی کارآمدتر برای بازار معرفی و تابع مشخصه محاسبه شد؛ سپس فرمولی برای قیمت‌گذاری سه نوع اختیار معاملۀ توانی تحت مدل تصادفی پیشنهادی، یعنی مدلی با دو تلاطم تصادفی، دو پرش و اندازه شدت تصادفی، با روش تبدیل فوریۀ سریع استخراج شد. درنهایت، برخی نتایج عددی برای دو اختیار توانی استاندارد و اختیار سقف مشخص و ایجاد شرایط آربیتراژ در حالت‌های مختلف بازار بررسی شد که نتایج عددی در بازاری فرضی نشان دادند، اختیار سقف ممکن است قیمت اختیار را تا حدی کنترل کند؛ اما وقتی قیمت واقعی (تلاطم بازار) رشد بیشتری داشته باشد، اختیار توانی در جلوگیری از ایجاد فرصت سودجویی، عملکرد بهتری دارد؛ همچنین با استفاده از شاخص کل بورس در جایگاه دارایی پایه و استفاده از مدل مطرح‌شده، در بازار واقعی نیز سود و زیان دو اختیار نشان داده شدند و مشخص شد که در بازار واقعی، هر چند اختیار توانی برای دارنده، سود بیشتری دارد؛ اما سود به دست آمده در بازار فضای سودجویی ایجاد می‌کند و برای بازار مفید نیست. اختیار سقف با اعمال سقفی برای سود اختیار، هم برای دارنده سودی منطقی دارد و هم در بازار از ایجاد فضای آربیتراژی جلوگیری می‌کند.

از مدل مطرح‌شده و روش تبدیل فوریۀ سریع در قیمت‌گذاری انواع اختیار معامله استفاده می‌شود؛ همچنین برای پوشش بهتر آشفتگی‌های بازار و نزدیک‌ترشدن قیمت‌گذاری به بازار واقعی، به مدل ارائه‌شده، یک یا چند فرایند پرش دیگر، با توزیع‌هایی با دم سنگین‌تر اضافه می‌شود.

یکی از مهم‌ترین مسائل پیش رو در مدل‌های تلاطم تصادفی، تخمین پارامترهای مدل است. استفاده از روش‌های مختلف برای تخمین پارامترها باعث ایجاد خطا در مقدار پارامترها می‌شود. مسئلۀ دیگر این است که استفاده از هر مدلی برای قیمت‌گذاری، باعث ایجاد محدودیت‌هایی در پیش‌فرض‌های بازار می‌شود؛ مثلاً مدل بررسی‌شده در این پژوهش، بازده دارایی را ثابت می‌انگارد که در واقعیت ممکن است چنین نباشد و یافتن مدلی که کاملاً بازار را پوشش دهد نیز کاری غیرممکن است؛ بنابراین این پژوهش فقط به بازارهایی که روند تغییرات دارایی، تقریباً با مدل مطرح‌شده مطابق باشند، محدود می‌شود.



[1]. Black-Scholes

[2] .Heston

[3]. Bates

[4]. Merton

[5]. Kou

[6]. Capped option

[7]. Liu & Chen

[8]. Taylor approximation

[9]. Ibrahim, O’Hara & Mohd Zaki

[10]. Lee, Yoo & Lee

[11]. Carr and Madan

[12]. Gil-Pelaez

[13]. Fast Fourier Transform

[14]. González

[15]. Monte Carlo

[16]. Gauss-Legendre

[17]. Duffi

[18]. Pan

[19] Singleton

[20]. Gatheral

[21]. Zhu

[22]. Feynman-Kac

[23]. Maximum likelihood

[24]. Feller

صاحبی‌فرد، ح. (2019). مقایسۀ قیمت‌گذاری اختیار معاملۀ توان تحت چند مدل تلاطم تصادفی در بازار بورس تهران (پایان‌نامۀ کارشناسی ارشد)، دانشگاه صنعتی شاهرود (017/008/007/01).
مهردوست، ف.، و صابر، ن. (2014). قیمت‌گذاری اختیار معامله تحت مدل هستون مضاعف با پرش. مجلۀ مدل‌سازی پیشرفتۀ ریاضی، 3(2)، 60-45.
 
References
Bates, D. S. (1996). Jumps and stochastic volatility: Exchange rate processes implicit in deutsche mark options. The Review ofFinancialStudies. 9 (1): 69–107. DOI: 10.3386/w4596.
Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy.637–654. DOI: 10.1086/260062.
Carr, P., & Madan, D. (1999). Option valuation using the fast Fourier transform. Journal of Computational _Finance. 2(4): 61-73. DOI: 10.21314/jcf.1999.043.
Dastranj, E., & Latifi, R. (2017). Option pricing under the double stochastic volatility with double jump model. Computational Methods for Differential Equations. 5(3): 224-231.
Dastranj, E., Sahebi Fard, H., Abdolbaghi, A., & Hejazi, R. (2019). Power option pricing under the unstable conditions (Evidence of power option pricing under fractional Heston model in the Iran gold market). Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 122690. DOI: 10.1016/j.physa.2019.122690.
Duffie, D., Pan, J., & Singleton, K. (2000). Transform analysis and asset pricing for affine jumps diffusions. Econometrical. 68(6): 1343-1376. DOI: 10.3386/w7105.
Gatheral, J. (2011). The Volatility Surface: A Practitioner's Guide (Vol.357). John Wiley Sons. DOI: 10.1002/9781119202073.
González Sáez, G. K. (2014). Fourier Transform Methods For Option Pricing: An Application To Extended Heston-Type Models. (MSc Thesis). Universidad del Páis Vasco, Spain.
Heston. S. .L (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency option. The Review of Financial Studies. 6(2): 327-343. DOI: 10.1093/rfs/6.2.327.
Ibrahim S. N. I, O’Hara J., & Mohd Zaki M. S. (2016). Pricing formula for power options with jump-diffusion. Applied Mathematics & Information Sciences. 10(4): 1313-1317. DOI: 10.18576/amis/100410.
Kim, J., Kim, B., Moon, K. S., & Wee, I. S. (2012). Valuation of power options under Heston's stochastic volatility model. Journal of Economic Dynamics and Control. 36(11): 1796-1813. DOI: 10.1016/j.jedc.2012.05.005.
Kou, S. G. (2002). A jump-diffusion model for option pricing. Management. Science. 48(8): 1086–1101. DOI: 10.2139/ssrn.242367.
Lee, Y., Yoo, H., & Lee, J., (2017). Pricing formula for power quanto options with each type of payoffs at maturity. Global Journal of Pure and Applied Mathematics. 13(9): 6695-6702. DOI: 10.4134/ckms.2016.31.2.415.
Liu, J., & Chen, X. (2012) Implied volatility formula of European power option pricing. arXiv preprint arXiv. 1203.0599.
Mehrdoost, F., & Saber, N., (2014). The option pricing under double Heston model with jumps. Journal of Advanced Mathematical Modeling. 3(2): 45-60. DOI: 10.1080/03610918.2019.1620275. (In Persian)
Merton, R. C. (1976). Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of. Finance and Economics. 3(1): 125–144. DOI: 10.1016/0304-405x (76)90022-2.
Sahebi, F. H., (2019). Comparing of Power Option Pricing under Some Stochastic Volatility Models in Tehran Stock Exchange. (MSc Thesis). Shahrood University of Technology, (01/007/008/017). (In Persian)
Wang, X., He, X., Bao, Y., & Zhao, Y., (2018) Parameter estimates of Heston stochastic volatility model with MLE and consistent EKF algorithm. Science China Information Sciences. 61(4): 042202. DOI: 10.1007/s11432-017-9215-8.
Zhu, J. (2009). Applications of Fourier Transform to Smile Modeling: Theory and Implementation. Springer Science Business Media. DOI: 10.1007/978-3-642-01808-4.